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1高中数学先修课程一元二次不等式的解法一．填空题：1．不等式的解为．2．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=15，则a=．3．若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是．4．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．5．不等式0＜1﹣x2≤1的解集为．6．若关于x的不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是．7．已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=．8．不等式2x2﹣x＜0的解集为．9．若不等式x2﹣（a﹣1）x+1＞0的解集为全体实数，则a的取值范围是．10．关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．11．满足不等式x2﹣x＜0的x的取值范围是．12．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为．13．已知实系数方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，则a的取值范围是．14．不等式的解集是．15．关于x的不等式x2+（a+1）x+ab＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}，则实数a、b的值分别为．16．若关于x的不等式ax2+2x+a＞0的集为R，则实数a的取范围是．17．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为是（2，3），2（1）求a，b的值（2）求不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集．18．关于x的一元二次不等式ax2+（a+b）x+b＞0的解集为（﹣2，﹣1）．（1）求a，b满足的关系式；（2）解关于x不等式（bx﹣2）（x﹣a）＞0．19．当a为何值时，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．20．关于x的不等式（1﹣2ax）2＜1．321．解关于x的不等式：（x﹣a）•（x﹣2a﹣1）≥0．22．求下列不等式的解集：（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣4x2+4x﹣1＜0．23．解不等式组．4参考答案与试题解析一．填空题：1．不等式的解为{x|0＜x＜1}．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集．【解答】解：同解于x（x﹣1）＜0所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}故答案为{x|0＜x＜1}【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．2．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=15，则a=．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=15，∴152==4a2+32a2，又a＞0．解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．3．若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是（﹣3，0]．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，讨论k=0与k≠0时，不等式解集为空集的k满足的条件是什么，求出k的取值范围即可．【解答】解：根据题意，得；5当k=0时，不等式化为﹣≥0，解集为空集，满足题意；当k≠0时，应满足，即，解得，∴﹣3＜k＜0；综上，k的取值范围是（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行解答，是基础题目．4．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根及其根与系数的关系、一元一次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．5．不等式0＜1﹣x2≤1的解集为（﹣1，1）．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】直接利用二次不等式求解即可．【解答】解：不等式0＜1﹣x2≤1，可得不等式0＜1﹣x2化为x2＜1解得﹣1＜x＜1，又1﹣x2≤1的解集为x∈R．6∴不等式0＜1﹣x2≤1的解集为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查．6．若关于x的不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是a＜﹣2或a＞2．【考点】一元二次不等式的应用．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据开口向上的一元二次不等式小于等于0的解集为空集可得到△＜0，进而可求出a的范围．【解答】解：∵y=x2﹣4x+a2开口向上，不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，∴△=16﹣4a2＜0，解得a＜﹣2或a＞2，∴实数a的取值范围是a＜﹣2或a＞2．故答案为：a＜﹣2或a＞2．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查对基础知识的灵活运用．属于基础题．7．已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=﹣．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可知3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个实根，利用韦达定理即可求得a值．【解答】解：∵等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个实根，则=12，解得a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决相关问题的关键．8．不等式2x2﹣x＜0的解集为0＜x＜．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用因式分解或一元二次不等式的解法求不等式的解集．【解答】解：由2x2﹣x＜0，得x（2x﹣1）＜0．即对应方程x（2x﹣1）=0的两个根分别为x=0或x=，所以不等式2x2﹣x＜0的解为0＜x＜．故答案为：{x|0＜x＜}．7【点评】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，比较基础．9．若不等式x2﹣（a﹣1）x+1＞0的解集为全体实数，则a的取值范围是（﹣1，3）．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】不等式x2﹣（a﹣1）x+1＞0的解集为全体实数，可得△＜0，解出即可．【解答】解：∵不等式x2﹣（a﹣1）x+1＞0的解集为全体实数，∴△=（a﹣1）2﹣4＜0，化为（a﹣3）（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜3．∴a的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10．关于x的不等式x2﹣ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】由判别式△＞0，解得a＜0，或a＞8．①当a＜0时，由f（﹣1）＜0，且f（﹣2）≥0，求得a的范围．②当a＞8时，由≤3求得8＜a≤9，再根据f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0求得a的范围．再把两个a的范围取并集，即得所求．【解答】解：由题意可得，判别式△=a2﹣8a＞0，解得a＜0，或a＞8．设f（x）=x2﹣ax+2a，①当a＜0时，由于f（0）＜0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为﹣1和0，故有f（﹣1）=1+3a＜0，且f（﹣2）=4+4a≥0，解得﹣1≤a＜﹣．②当a＞8时，对称轴x=＞4，设A=（m，n），由于集合A中恰有两个整数则有n﹣m≤3，即≤3，即a2﹣8a≤9，解得8＜a≤9．故有对称轴4＜＜5，而f（2）=4＞0，f（3）=9﹣a≥0，故A中的两个整数为4和5，故f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0．即16﹣2a＜0，且25﹣3a＜0，36﹣4a≥0解得＜a≤9．综合可得，﹣1≤a＜﹣，或＜a≤9．故实数a的取值范围是，8故答案为．【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．满足不等式x2﹣x＜0的x的取值范围是（0，1）．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】解不等式x2﹣x＜0，即可得出x的取值范围．【解答】解：不等式x2﹣x＜0可化为x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤解答即可，是容易题．12．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为﹣．【考点】一元二次不等式的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对一切成立，等价于a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，〕成立∵y=﹣x﹣在区间（0，〕上是增函数∴﹣x﹣＜﹣﹣2=﹣∴a≥﹣∴a的最小值为﹣故答案为﹣．【点评】本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．13．已知实系数方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，则a的取值范围是（﹣，﹣2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有9【专题】函数的性质及应用．【分析】设函数f（x）=x2+ax+1，利用根与系数之间的关系，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，∵f（0）=1＞0，方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，∴或，即①或②，由①得无解，由②得﹣＜a＜﹣2，故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】本题主要考查二次函数和二次方程之间的关系，将方程转化为函数是解决本题的关键．14．不等式的解集是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．【考点】一元二次不等式的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】我们根据分式不等式的解法，可选利用实数的性质将分式不等式转化为一个整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法解答即可．【解答】解：分式不等式⇔（x﹣2）（x+3）＞0，所以x＜﹣3或x＞2．故不等式的解集是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，分式不等式的解答过程中，最关键的步骤是利用实数的性质，将不等式转化为f（x）•g（x）＞0．15关于x的不等式x2+（a+1）x+ab＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}，则实数a、b的值分别为﹣4，1．【考点】一元二次不等式的应用．菁优网版权所有【分析】由不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞4}可知：﹣1，4是方程x2+（a+1）x+ab=0的两根，根据韦达定理便可解得a