第8讲不等式与简单线性规划

2012高考数学直通车二轮30讲备课手册第8讲不等式与简单线性规划第8讲不等式与简单线性规划一．教学目标1、理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，掌握一元二次不等式的解法；2、掌握不等式与函数单调性之间的联系，会用单调性解决实际问题；3、掌握线性规划问题的图象解法，并能用线性规划的方法，结合解析几何的知识解决一些简单的实际问题，提高综合运用知识解决实际问题的能力．二、课前诊断1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解答过程简明扼要的写在教学笔记栏．上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．2、结合课件点评．有针对性地投影几位同学的解答过程．题1：若1,01ab,且log(21)1bxa,则实数x的范围是．【点评】（1）所给不等式是形如tam型，因此联想到指数函数，考虑利用指数函数的性质求出log(21)bx的范围．（log(21)0bx）（2）这样我们考虑log(21)0bx的解集，联想到对数函数，利用对数函数的性质求出解集．（3）利用指数函数、对数函数解决问题时需提醒学生充分考虑底数的范围．变式：解不等式：log(32)log(3)(01)xxaaaa且【点评】此题在教学时重点强调讨论a的范围，及30x这一隐含条件．题2：若不等式：32xax的解集是非空集合mxx4，则am．【点评】1、可以提问：不等式32xax“原型”是什么？交流讨论：实际上就是230(0)2ayyy，因此4,m分别是方程2302ayy的两个正实数根，且有4m．将4x代入方程32xax求出18a，再将xm代入方程32xax求出36m．2、换元思想是我们处理“12次”到“1次”的有力武器，换元时要注意“元”的新旧范围的变化．题3：若实数,xy满足不等式01032033myxyxyx，且xy的最大值为9，则实数m．【点评】1、在充分关注学生所画图形的基础上，提出学生画图中存在的不足．重点是01myx经过的关键点)0,1(，并适当小结：试题中给出的含参数的直线一般情况是平移变化或者是旋转变2012高考数学直通车二轮30讲备课手册第8讲不等式与简单线性规划化，更一般的直线（方向、位置都不确定）只能用其他方法处理．2、分析目标函数zxy取得最大值的图形特征，引导学生准确求出求yx的最大值．题4：已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为．问题1：由条件“()fx值域为[0)，”可得到什么？它与()0fx在[0)，恒成立一样吗？答：由条件可得到240abV，即24ab；“()fx值域为[0)，”中函数的最小值为0，而“()0fx在[0)，恒成立”中函数()fx的最小值大于．问题2：“()fxc的解集为(6)mm，”中的,6mm分别是什么？由这一条件可得到什么结论？答：,6mm是方程()fxc的两个根，故()fxc的两根12,xx满足12||6xx．问题3：如何求一元二次方程22()4afxxaxc两个根的差？答：解法一：2()2afxxc，所以12,22aaxcxc，则12||2xxc解法二：22221212124444axxxxxxacc．【解析】由值域为[0)，，当2=0xaxb时有240abV，即24ab，∴222()4afxxaxbxax。由题可知方程()fxc即2204axaxc的两根为,6mm。则2264264ammacc，解得9c。【小结】（1）注意()fx值域为[0)，与()0fx在[0)，恒成立的差异．（2）不等式解集的边界是对应方程的根或定义域的边界．题5：已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x＜0.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是．【点评】教师引导学生分析22,fafa如何表示，()fx函数的性质．问题1：()fx是个分段函数，fa表示什么？22fa呢？2012高考数学直通车二轮30讲备课手册第8讲不等式与简单线性规划交流：当2a时，2222(2)422faaa，2()4faaa；当20a时，2222(2)242faaa，2()4faaa当02a时，2222(2)242faaa，2()4faaa问题2：当2a时，f(2－a2)＞f(a)即222422aa24aa会解吗？问题3：如何画()fx的图象，从图象中可看出()fx有哪些性质？如何利用这些性质解题？交流：函数图象如右图所示，则图可看出()fx是奇函数，且在R上单调递增．因为函数在R上单调递增，所以f(2－a2)＞f(a)等价于22aa，解得21a．【小结】利用函数的性质解不等式有时可收到意想不到的效果．3、诊断题归纳（1）不等式的求解往往与函数的性质相联系，特别是含参数的表达式，应该注重函数与方程思想的运用．如：题１中，既要考虑指数函数的性质，又要考虑对数函数的性质；（2）解线性规划问题的步骤：画、移、求、答；强调画图确定可行域要准；（3）体会函数、数形结合、转化等数学思想在解题中的运用；如：题2中通过换元将问题进行转化．三、例题探究例1设函数()2fxkx，不等式2[()]36fx的解集为(1,2)．（1）求k的值；（2）求不等式6loglog(1)(01)()aaxafx的解集．【教学处理】要求学生自己分析并板演，集体讨论交流学生的解答过程，教师观察小结或提问．经过观察（1），若学生中只有所提供的一种解答，可以引导学生考虑另一种解法，若学生中两种解答都出现了，则可以要求学生适当交流讨论．【点评】（1）解法一，我们将不等式转化成一次不等式，但是对k要分三种情况进行讨论；解法二，我们将不等式直接化为二次不等式，而对k只要分两种情况进行讨论，对一元二次不等式求解的处理用到了“根与系数的关系”．强调不能遗忘或忽视0k的讨论，规范学生的解题过程．（2）关注三点：1、是否有学生忽视60,10()xfx；2、学生是否正确运用对数函数的单调性；3、分式不等式中的分母的有效处理方式．例２：设实数,xy满足03204202yyxyx．则（1）2xy的最小值为；（2）xy的最大值为；（3）22xy的最小值为．【教学处理】要求学生画出可行域，引导学生观察、赋予目标函数的几何意义．2012高考数学直通车二轮30讲备课手册第8讲不等式与简单线性规划【启发谈话与引导分析】(1)令2txy，求其最小值，即求直线20xyt在y轴截距的最小值；(2)令ytx，看成可行域内的点与原点连线的斜率，即求其范围，从而得其最大值；（3）22xy可看成可行域内的点与原点连结线段的距离平方，亦可当作以原点为圆心的圆的半径的平方．讨论交流：第（３）问最小值点在可行区域的边界上还是在顶点上？变式：设实数,xy满足202010xyxyy，则22xy的取值范围是．由学生自主完成．交流：与例２第（3）问比较，最值点的位置的确定的不同之处．例３：某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【教学处理】指导学生阅读审题，列出各种量的限制条件，分析得出目标函数；教师边板书示范，边引导归纳．【引导分析】线性规划的简单应用关键要对给出的数据进行整理（建议列表整理），设定相应的变量，这里设在甲电视台做x分钟广告，在乙电视台做y分钟的广告，由学生自主列出约束条件：300(1)50020090000(2)0300,0300(3),(4)xyxyxyxyZ交流学生完成情况．这里（２）式容易单位不统一致错，（４）式容易忽视．写出目标函数：30002000zxy（单位：元）或者0.30.2zxy（单位：万元）．追问：是否都可以？哪一个更好？问题：在直角坐标系中画可行域时，你准备选择多少为一个长度单位？讨论交流：作线性目标函数对应的直线，并在可行域内平移，确定最优解及目标函数的最值，根据结果回答问题．四．解题反思（1）每一道例题讨论后，都应留出足够的时间让学生进行回顾与体悟；（2）对线性目标函数zAxBy中的B的符号特别关注：当0B时，当直线过可行域且在y轴截距最大时，z值最大；当直线过可行域且在y轴截距最小时，z值最小；当0B时，当直线过可行域且在y轴截距最大时，z值最小；当直线过可行域且在y轴截距最小时，z值最大；（3）利用图解法解线性规划应用题时要注意最优解的各种情况；（4）明确目标函数的几何意义：如：12xy，22)1()2(yx等．江苏省高邮中学执笔修改：侯军