第8讲多自由体系的微振动

第六章多自由体系的微振动一．多自由度体系线性自由振动的一般处理方法二．简正坐标三．寻找简正坐标的一般方法一．两个自由度保守力体系的自由振动设，广义坐标为：12;xx，体系的运动方程：11122200dTTVdtxxxdTTVdtxxx对于稳定的约束，动能为：2,122111121222212122ijijijTAxxAxAxxAx式中的ijA是广义坐标的函数：1212,,ijjiAxxAxx势能：12,VVxx与广义速度无关。取平衡位置为12;xx的零点，将V和A进行泰勒展开（目的是要运动方程）：222121,100222121,1001,0,021,0,02iijiijiijiijiijiijVVVxxVxxxxxxAAAxxAxxxxxx上式中,0,0V是体系在平衡位置的势能，我们可以适当选取零势能点，使得0,00V。此时微分项也为零。系统在做微振动时，可以忽略高阶无穷小量。令：20ijjiijVbbconstxx势能：222121,1002211112122221,0,02122iijiijiijVVVxxVxxxxxxbxbxxbxA是动能项中的展开系数，我们在动能中只保留关于无限小量的二次式，对于无限小振动：由于12;xx为无限小量，则对应的速度也是一定是无限小量，因此我们只能取A的第一项。12,0,0ijAxxAa则动能展开式为：2221111212222,111222ijijijTaxxaxaxxax其中：ijjiaaconst，将展开式代入运动方程得到：111122111122211222211222210001,2ijjijjjaxaxbxbxaxaxbxbxaxbxi二阶微分方程的解：1122sinsinxAtxAt将上述的解代入微分方程：22101,2jijijjAbai（i）明显解：121200AAxx（ii）12;AA有非零解则必须有（设：12211221;aabb）：2222221111121211112222121222111122220bababababababa久期方程or频率方程。我们可以从中求解方程1122sinsinxAtxAt中的频率。关于2的二次方程有两个根可以是正、可以是负，也可以是复数。但是在上述情况下有两个正的实根。体系在平衡位置12,0Vxx附近作为振动，平衡位置的12,Vxx12,0Vxx取极小值，221211112122221,22Vxxbxbxxbx因此只要12;xx不同时为零，必有12,0Vxx。根据此条件可以证明关于2的二次方程有两个正的实根。例：两个相同的单摆耦合起来形成双单摆，求体系微震动时的运动规律。解：体系的自由度为：2，取12;为广义坐标222121222121222122TmlVmgl代入拉格朗日方程：特解为：代回微分方程：12;AA有不为零的解：上述四个根，则有：例：求两个耦合振子的振动频率。解：体系的自由度为2，取12;xx为广义坐标。代入拉格朗日方程：引入新坐标：；，二．简正坐标1．简正坐标的意义：代回到动能和势能的表达式中：取：削去了动能中的交叉项，应用拉格朗日方程，可以表示成两个独立广义坐标的二阶微分方程：应用12;qq比12;xx方便！12;qq称为简正坐标。简正坐标的物理意义：（1）如果体系的振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，则反映这种振动模式的坐标称为简正坐标。相应的振动模式称为简正振动，（2）体系的任意一种状态都是各种不同简正振动的线性叠加。2．寻找简正坐标的方法：通过坐标变化，使得：设：通过变换使得：；同时变为：；我们寻找C！先考虑势能：（用矩阵表示）例：（1）将势能写成矩阵形式：（2）求本征值方程：解得：对应于对角化变换矩阵为：则：用矩阵表示：其中：转换矩阵：代回到方程中：其中：我们的目的是使势能变成：这就要求D是对角矩阵：其中：12,,n称为矩阵B的本征值，本征值方程为：矩阵C由矩阵B的本征矢量11,,nKKK组成：其中：通过上述变换，使得势能变成了平方和的形式，保持势能的平方和形式不变，再做一次变换使得动能也变成平方和形式：变换：取：动能和势能的系数矩阵：取：例：变换坐标：势能项已经是平方和形式了，取：代回到：则有：归一化解：由：得到：则：作业：1．P186对于3个广义坐标的情况，求简正坐标。2．阅读并理解P187的6.5节。