第8讲直线与圆锥曲线的位置关系

第8讲直线与圆锥曲线的位置关系【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()．A．32B．26C．27D．42解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b＞0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27.答案C4．(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()．A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y2＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是x24－y25＝1.答案B5．(2011·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为________．解析由y＝kx＋2，y2＝8x，得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1.答案0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()．A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4][审题视点]设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.答案C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是()．A．至多为1B．2C．1D．0解析由题意知：4m2＋n2＞2，即m2＋n2＜2，∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案B考向二弦长及中点弦问题【例2】►若直线l与椭圆C：x23＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．[审题视点]联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)当AB⊥x轴时，|AB|＝3；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知，得|m|1＋k2＝32，即m2＝34(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－13k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·36k2m23k2＋12－12m2－13k2＋1＝12k2＋13k2＋1－m23k2＋12＝3k2＋19k2＋13k2＋12＝3＋12k29k4＋6k2＋1.当k≠0时，上式＝3＋129k2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．此时|AB|＝2；当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值Smax＝12×|AB|max×32＝32.当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2ba＋b2－4·b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2·4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵OC的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋23y2＝1.考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．[审题视点](1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－12上．设M－12，t，则圆半径r＝－12－－2＝32，由|OM|＝r，得－122＋t2＝32，解得t＝±2，∴所求圆的方程为x＋122＋(y±2)2＝94.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k22k2＋1，x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2＋1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2＋1，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2＋1＋k22k2＋1＝－k22k2＋1＝－12＋14k2＋2，∵k≠0，∴－12＜xG＜0，∴点G横坐标的取值范围为－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】(2012·金华模拟)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是12时，AC→＝4AB→.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是12时，l的方程为y＝12(x＋4)，即x＝2y－4.由x2＝2py，x＝2y－4得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴y1y2＝4，①y1＋y2＝8＋p2，②又∵AC→＝4AB→，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由x2＝4y，y＝kx＋4得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝xC＋xB2＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2