第8课时函数的简单性质教师版

听课随笔第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念与图像§2.1.3函数的简单性质—函数最值【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数的最大值与最小值概念；2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；3．能求一些常见函数的最值和值域．【课堂互动】自学评价1．函数最值的定义：一般地，设函数()yfx的定义域为A．若存在定植0xA，使得对于任意xA，有0()()fxfx恒成立，则称0()fx为()yfx的最大值，记为max0()yfx；若存在定植0xA，使得对于任意xA，有0()()fxfx恒成立，则称0()fx为()yfx的最小值，记为min0()yfx；2．单调性与最值：设函数()yfx的定义域为,ab，若()yfx是增函数，则maxy()fa，miny()fb；若()yfx是减函数，则maxy()fb，miny()fa．【精典范例】一．根据函数图像写单调区间和最值：例1：如图为函数()yfx，4,7x的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】由图可以知道：当1.5x时，该函数取得最小值2；当3x时，函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有２个：(1.5,3)和(5,6)；该函数的单调递减区间有三个：(4,1.5)、(4,5)和(6,7)函数最值函数最值概念函数最值与图像函数最值求法听课随笔二．求函数最值：例2：求下列函数的最小值：（1）22yxx；（2）1()fxx，1,3x．【解】（１）222(1)1yxxx∴当1x时，min1y；（２）因为函数1()fxx在1,3x上是单调减函数，所以当3x时函数1()fxx取得最小值为13．追踪训练一1.函数2()4(0)fxxmxm在(,0]上的最小值（A）()A4()B4()C与m的取值有关()D不存在2.函数2()2fxxx的最小值是０，最大值是32．3.求下列函数的最值：(1)4()1,{1,0,1,2}fxxx；(2)()35,[3,6]fxxx析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．解：(1)(1)(1)2ff;(0)1f;(2)17f所以当0x时，min1y；当2x时，max17y；(2)函数()35fxx是一次函数，且30故()35fxx在区间[3,6]上是增函数所以当3x时，min14y；当6x时，max23y；【选修延伸】含参数问题的最值：例３:求2()2fxxax，[0,4)x的最小值．【解】22()()fxxaa，其图象是开口向上，对称轴为xa的抛物线．①若0a，则()fx在[0,4)上是增函数，∴min()(0)0fxf；②若04a，则2min()()fxfaa；③若4a，则()fx在[0,4)上是减函数，∴()fx的最小值不存在．点评:含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！思维点拔：一、利用单调性写函数的最值？我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]ac上是图像连续的，且在[,]ab是单调递增的，在[,]bc上是单调递减的，则该函数在区间[,]ac上的最大值一定是在xb处取得；同理，若函数在区间[,]ac上是图像连续的，且在[,]ab是单调递减的，在[,]bc上是单调递增的，则该函数在区间[,]ac上的最小值一定是在xb处取得．追踪训练１．函数)1(11)(xxxf的最大值是(D)()A54()B45()C43()D342.函数21yxx在区间[1,1]上的最小值和最大值分别是(B)()A1,3()B3,34()C1,32()D1,343.函数2()21(0)fxaxaxa在区间[3,2]上的最大值为4，则a____38____．4.函数23(0)()5(0)xxfxxx的最大值为5.5．已知二次函数2()21fxaxax在3,2上有最大值4，求实数a的值．解：函数2()21fxaxax的对称轴为1x，当0a时，则当2x时函数取最大值4，即814a即38a；当0a时，则当1a时函数取得最大值4，即14a，即3a所以，38a或3a。【师生互动】学生质疑教师释疑