第9章信道编码

1第9章信道编码习题解答1．解：设三个码字分别为]001010[0A，]111100[1A，]010001[2A。两两码字之间的距离为：4)(),(1010AAWAAd4)(),(2020AAWAAd4)(),(2121AAWAAd此码的最小码距40d。（1）此码用于检错，最多能检3)1(0d位错误；（2）此码用于纠错，能纠小于等于5.12/)1(0d位错误，由于个数应为整数，因此可纠一位错误。（3）此码用于同时检错和纠错时，能检和能纠的个数e和t与最小码距之间应有如下关系：10ted（)te可见，当40d时，有1124，得2e，1t。即同时用于检错和纠错时，纠1位错同时最多能检2位错误。2．解：（1）。将信息矩阵]000[M~]111[代入GMA即可求得所有码字。如下：00000001000111001110110110100101110110100101100111110100（2）典型监督矩阵可写成：][rPIH。此题中437knr。典型生成矩阵有格式：][TkPIG，对照已知的生成矩阵可得101101111110TP进而有101011111110P代入典型监督矩阵][rPIH求得1000101010001100101110001110H（3）由码字即可求得码距。所有码字中除全0码字外，最小码字重量即为此码的最小码距。由上述得到的码字，得最小码距40d。此码用于检错，最多能检3位错误；用于纠错，最多能纠1位错误。（4）编码效率为：7/3/nk3．解：（1）（7，1）重复码有两个码字，分别为0000000和1111111。2（2）两个码字之间的码距即为（7，1）重复码的最小码距，因此70d。（3）此码用于检错，能检的错误数61710de可见，最多能检6位错误。（4）此码用于纠错，能纠的错误数3)1(210dt可见，最多能纠正3位错误。4．解：将监督方程组写成监督矩阵的形式000010001010100011111000101110010123456xxxxxxx监督矩阵为1000101010001111100010111001H此矩阵不是典型监督矩阵，下面将其转换为典型监督矩阵，首先将第3、4行加到第2行，得1000101010001100101110111001H再将第2、3行加到第1行，得][10001010100011001011100011014PIH根据典型监督矩阵与典型生成矩阵之间的关系][3TPIG求得101110001100101111001G用GMA求得到全部码字如下信息码字000000000000100111010100100110011011101110010011113101101001011011010011111110100在线性分组码中，最小码距等于除全零码外的码字的最小码重，即3)(min0iAWd代入1)1(210dt，可见此码最多能纠一位错误。编码效率为73nk5．解：（1）监督矩阵的行数等于监督元的个数，列数等于码字的长度。根据给定的监督矩阵可知：码字长度和信息元位数分别为：7n，3r，437k（2）编码效率74nk（3）此汉明码监督矩阵为典型监督矩阵，由此可得典型生成矩阵为1101000101010001100101110001][3TPIG（4）当信息]1111[M时，码字]1111111[GMA，可知监督码元（码字的最后3位）为111。（5）由伴随式公式TBHS可求出当接收]0100110[B时]000[000010001110101011111]0100110[S伴随式为[000]，接收码字]0100110[B为此（7，4）汉明码的一个码字。用同样的方法得接收]0000011[B时，伴随式]011[000010001110101011111]0000011[S由于伴随式不为0，]0000011[B不是此（7，4）汉明码的一个码字，它是某个码字和错误图样的叠加。要找出]0000011[B中的错误，必须先找出所有单错误的7个错误图样与伴随式之间的4关系。由TeHS得00100000010100000010100000010001100010001010010000110010000011110000007654321SeSeSeSeSeSeSe根据]011[S及上面的对应关系，可知]0000011[B中第4位（从左起）有错。纠错后的码字为]0001011[]0001000[]0000011[4eBA。6．解：汉明码的监督码元个数r与码长n之间满足12rn由7n得3r，信息元个数437rnk。编码效率74nk。要求监督关系方程组，必须先求出监督矩阵H。由于TH中的每一行都是一个伴随式，第一行对应错误图样]1000000[1e，第二行对应错误图样]0100000[2e，以此类推。（7，4）汉明码的监督矩阵H有3行7列，因此TH有3列7行，每一行由3位二进制构成。3位二进制码元不同的组合共有8种，去掉000，其余7种与7个错误图样的伴随式对应，它们之间的各种一一对应关系都可以，但我们可选择一种能导出典型监督矩阵的对应关系，即错误图样]0000100[5e对应]100[S，]0000010[6e对应]010[S，]0000001[7e对应]001[S。其余1e~4e与[111]、[110]、[101]、[011]之间的任一种一一对应均可以。可选择：00100000010100000010100000010001100010001110010000101010000011010000007654321SeSeSeSeSeSeSe它对应的000010001110111101011TH所以100111001011010010111H由监督矩阵H并用式子TTOAH得50001001110010110100101110123456aaaaaaa由上述矩阵等式得三个监督方程式000034513462456aaaaaaaaaaaa整理后得监督元与信息元之间的关系式为345034614562aaaaaaaaaaaa7．解：（1）根据给定生成多项式及P342图9-6所示的循环编码器的一般原理图可画出此（7，4）循环码的编码电路图如下；门1或门门2输入信息组0D1D2D+0g1g3g输出码字(7,4)循环码编码器+（2）结合移位寄存器的工作原理及上述编码器，当输入信息为1100时，编码器的工作过程列于下表。移位次序输入信息门1状态门2状态210DDD输出0/断开接通０００／１１１１０１２１１０１１３０１０００４００１００５输入０或断开连接接通断开００１０６０００１７００００（3）根据生成多项式及P344图9-9画出此循环码译码器的方原理图为68．解：根据分解因式)1)(1)(1(12337xxxxxx及特征多项式条件可知1)(3xxxf和1)(23xxxf都是产生长度为7的m序列的特征多项式。（1）用1)(3xxxf画出m序列发生器的框图如下+2a1a0a11C13C10C（2）当初始状态001012aaa时，输出m序列为１００１１１０。产生过程列表如下时钟脉冲状态（012aaa）输出序列（0a）001111000211003111140111510116010070011……….9．解：0D1D2D。7级移位寄存器与门7位接收码字7位纠错后的码字（7，4）循环译码器电路+++7设初始状态为0，即开始工作时寄存器中的初始值为0。由编码器可见，每输入一位信息ja，输出码字有2位21jjaa，其中11jjjaaa，jjaa2。编码器工作过程列表如下现态1ja输入ja输出码字21jjaa次态1ja01111110111010000000011111010000000000000111111011由表可见，当输入信息为1100100011时，输出码字序列为：11，01，10，00，11，10，00，00，11，01。