2009南京信息工程大学-高等数学(下册)试卷-A卷-试卷及答案

1南京信息工程大学高等数学II试卷A卷参考答案课程名称：高等数学II考试学期09-10-2适用专业：考试形式：闭卷考试时间长度120分钟共4页题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（每题3分，共15分）1.曲线tztytx3cos,sin,2在（0,0,1）处切线的方程为___0112zyx__。2.已知)12sin(yxeuxy。则dudyyxxedxyyexyxy)12cos(2())12sin((。3.xyzu在点M)2,1,5(处,沿点（5,1,2）到点（9,4,14）的方向的方向导数为__1398___。4.斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：空间曲线上的第二型曲线积分和_空间曲面上的第二型曲面积分之间的关系。格林(Green)公式指出了下列两类积分：平面上第二型曲线积分和二重积分之间的关系。5.把321x展开成麦克劳林（Maclaurin）级数为_2323,3)2(01xxnnnn_。二、选择题（每题3分，共15分）1.设)(xf是周期为的周期函数,它在区间],0(上定义为)2(,1)20(,)(2xxxxxf,则)(xf的傅立叶级数在处收敛于_B_。(A)0,(B)212,(C)21,(D)12。2.微分方程2'xyxy的通解为__D____。(A)Ceyx,(B)Cxy2,(C)Cxxy2,(D)Cxxy2。3.变换2210),(yydxyxfdy的积分次序为___A____。2(A)dyyxfdxdyyxfdxxx222021010),(),((B)2010),(xdyyxfdx(C)dyyxfdxx22021),((D)dyyxfdxx22020),(。4.设L为逆时针方向的圆周:4)3()2(22yx,则Lxdyydx___C___。(A)0，(B)2，(C)8，(D)512。5.幂级数11212nnnxn的收敛半径为___A___。(A)21(B)1(C)(D)0三、计算题（5个小题，每题6分，共30分）1.矢量场2332vxyiyjzk沿z轴正向通过半球面2221zxy的流量Q。解：zdxdydzdxydydzxydSvQ2332，其中为上半球面2212yxz，指向上侧添加曲面)1(2221yxz：，取下侧,由高斯公式有12332zdxdydzdxydydzxy=342dv,而12332zdxdydzdxydydzxy=44xyDdxdy,所以,316Q。2.设2224:{0xyzLxyz，求dsyxIL)(22。解：由于LLLdsxzdszydsyx)()()(222222，从而332432)(32222LLdsdszyxI。3.已知),,2(xyyxfwf具有二阶连续偏导数，求yxw2。解：xffyw21,222121211222xyfxffyffyxw2212211)2(2xyffyxff34.求函数22212yxyxz在区域D：25422yx上的最大值。解：设)254(212)(2222yxyxyxxF,得驻点:)4,23(,)4,23(,)3,2(,)3,2(,计算:41106)4,23()4,23(zz,50)3,2()3,2(zz,另0)0,0(z,所以41106maxz5.计算Ddyxyx)(22，其中D由1,0,0yxyx所围成。解：1023102210245)31265()(dxxxxdyyxyxdxIx四．（8分）计算积分dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(,其中)0(22hzyxz：的方向为下侧。解：添加曲面)(221hyxhz：，取上侧,由高斯公式有1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=00dv,而1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=xyDdxdyyx)(=0,所以,0I。五．（8分）求幂级数012!nnnnxn的和函数，并指出收敛域。解：令nnnnnxnnxnnxS)2(!1!21)(00，逐项积分得，20010!)2(!)2(2)(xnnnnxxenxxnxdxxS，两边再求导得2)21()(xexxS，收敛域为),(。4六．（8分）求xeyyy2103的通解。解：xxxxeeCeCy2522171。七．（8分）下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分LyxydxxdyI224，其中L为从A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲线，AC为直线：1xy，CB为直线：1xy，计算过程为：因为224yxyP,224yxxQ,xQyxxyyP22222)4(4，所以积分与路径无关，从而LyxydxxdyI224=AByxydxxdy224=0(其中AB为直线段：)11(0xy)。解：不正确，因为xQyxxyyP22222)4(4,要求0422yx，所以这样做是错误的。设l是从A到),21,0('C，再到B的半椭圆周：tytxsin21,cos，则LyxydxxdyI224=lyxydxxdy224=2210dt。八．（8分）设)(tf为连续函数，且0)0(f，由不等式222,0tyxhz所确定，令dxdydzyxfztF)]([)(222，求20)(limttFt。解：dzfzddtFth)(()(220002=dhfht022]3)([232]3)([2lim2)('lim)(lim3220020htthttfhttFttFttt。