10保险精算

山东大学张芳洁保险学第十章保险精算1山东大学张芳洁本章教学目的在了解保险精算的产生与发展、基本任务和基本原理的基础上，掌握非寿险精算中保险费率的厘定方法、“大数”的测定、财务稳定性分析，以及自留额与分保额的决策；掌握寿险精算中生命表，趸缴纯保险费、年金保险纯保险费、年度纯保费和毛保险费的计算，以及理论责任准备金和实际责任准备金的计算。2山东大学张芳洁第一节保险精算的基本原理—收支相等原则所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式1.根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；2.根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；3.根据在其他某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。3山东大学张芳洁第一节保险精算的基本原理—大数法则（一）切比雪夫（Chebyshev）大数法则设，，…，，…是由两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：41X2XnX1X2X1111lim()1nnkknkkPXEXnn这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。nXD()≤C，D()≤C，…D()≤C，…，则对于任意的ε0，都有：山东大学张芳洁三、保险精算的基本原理（二）贝努利(Bernoulli)大数法则设Mn是n次贝努利实验中事件A发生的次数，而p是事件A在每次实验中出现的概率，则对于任意的ε0，都有：5lim1nnMPpn山东大学张芳洁三、保险精算的基本原理（三）普阿松(Poisson)大数法则假设某一事件在第一次实验中出现的概率为P1,在第二次实验中出现的概率为P2，…，在第n次实验中出现的概率为Pn。同样用Mn来表示此事件在n次实验中发生的次数，则依据普阿松大数法则有：对于任意的ε0，成立612...lim1nnnMpppPnn普阿松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。山东大学张芳洁保险费率的厘定保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。而纯费率的确定通常有两种方法：一是依据统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率r；二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值E除以保险金额I而得到r，即r=E/I。如果附加费率在保险费率中的比例为k，则保险费率可由R=r/(1-k)求得。7山东大学张芳洁保险费率的厘定（一）观察法观察法是指对个别标的的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用一些资料，只不过较为粗略而已。8山东大学张芳洁第二节非寿险精算一、保险费率的厘定（二）分类法分类法是指将性质相同的风险，分别归类，而对同一分类的各风险单位，根据它们共同的损失概率，订出相同的保险费率。分类费率确定之后，经过一定时期，如与实际经验有所出入，则应进行调整，其调整公式为：9AEMCE公式中各符号的含义如下：M—调整因素，即保险费应调整的百分比；A—实际损失比率；E—预期损失比率；C—信赖因素。采用上面的公式来决定费率调整的百分比，关键在于确定信赖因素C的大小。山东大学张芳洁第二节非寿险精算一、保险费率的厘定（三）增减法增减法是指在同一费率类别中，对被保险人给以变动的费率。其变动或基于在保险期间的实际损失经验，或基于其预想的损失经验，或同时以两者为基础。增减法对分类费率可能有所增加，但也可能有所减少，主要在于调整个别费率。1.表定法采用表定法时，必须首先在各分类中对各项特殊显著的风险因素设立客观标准。当被保险人购买保险时，就以这种客观标准来测度风险的大小。10山东大学张芳洁第二节非寿险精算一、保险费率的厘定（三）增减法2.经验法采用经验法制定费率，是根据被保险人以往的损失经验，对按照分类费率制定的费率加以增减变动。所以经验法主要是一种调整费率的方法。采用经验法调整费率的公式为：11AEMCTE公式中各符号的含义如下：M——保险费率调整的百分比；A——经验时期被保险人的实际损失；E——被保险人适用某分类时的预期损失；C——信赖因素；T——趋势因素（考虑平均赔偿金额支出趋势及物价指数的变动）。山东大学张芳洁第二节非寿险精算一、保险费率的厘定（三）增减法3、追溯法追溯法是与经验法相对的一种费率调整方式，它以保险期内被保险人的实际损失为基础，计算被保险人当期应缴的保险费。在使用这种方法时，先在保险期开始前以其他方式确定预缴保险费，然后在保险期满后，根据实际损失，对已缴保费进行增减变动，其计算公式如下：RP=［BP+L·LCF］·TM公式中符号的含义如下：RP—RetrospectivePremium，为计算所得的追溯保险费；BP——asicPremium，为基本保险费；L—Loss，实际损失金额；LCF—LossConversionFactor，损失换算因数（其数值大于1）；TM—TaxMultiplier，租税乘数（其数值大于1）。12山东大学张芳洁第二节非寿险精算一、保险费率的厘定（三）增减法4、折扣法：对个别被保险人采用折扣费率。二、“大数”的测定在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定：1322(1)SppNE公式中各个符号的含义为：N—在一定条件下应具有的风险单位数。E—相对于预期损失次数而言）实际损失变动次数与总数的比率，表示所需要的精确度。S—实际损失与预期损失相差的标准差的个数。S的值可以说明对所获得的结果的信赖程度。p—某一特定标的（风险单位）发生损失的概率。山东大学张芳洁第二节非寿险精算三、财务稳定性分析假定某公司承保的某项业务有n个保险单位，每个保险单位的保险金额为a元，纯费率为q。如果损失标准差为σ，则称aσ为赔偿金额标准差，用Q表示，即Q=aσ。把anq（即纯保费总额）称为保险赔偿基金，用P表示，即P=anq。赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财务稳定系数，用K表示，即K=Q/P。一般而言，财务稳定系数K越小，财务稳定性越好；反之，财务稳定系数K越大，财务稳定性越差。假定有n个保险标的，每个保险标的的保险金额为a元，损失概率为p，纯费率为q，若损失服从二项分布，则有：14(1)(1)anppppKanqqn山东大学张芳洁第二节非寿险精算假定保险公司承保有两类业务，第一类业务承保n1个单位，每个单位的保险金额为a1元，纯费率为q1，第二类业务承保n2个单位，每个单位的保险金额为a2元，纯费率为q2。则：151111(1)nqq111Qa111111Kaanq222222Kaanq121212KQP12111222Panqanq第一类业务上的出险次数标准差为：赔偿金额标准差为：财务稳定系数为：同样可以得到：如果把第一类业务与第二类业务合并，则赔偿金额标准差为：2222121122Qaa财务稳定系数为：其中山东大学张芳洁第二节非寿险精算一般地，当有j个业务合并时，有：1612...12...12...jjjKQP12...1jjiiiiPanq2212...1jjiiiQa四、自留额与分保额的决策假定在原有业务上，赔偿基金为，赔偿金额标准差为，则将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则：2Pxnq222KQP其中，山东大学张芳洁第二节非寿险精算合并业务后：17121PPPPxnq2222121(1)QQQQxnqq12KQP要使K1+2仍维持K1的值，则应有：221111(1)QxnqqQPPxnq2112121(1)PxKqnK2112xKP整理后可得：当q十分小时，可近似得到：要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x以下，则可全部自留，对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。山东大学张芳洁第三节寿险精算讨论问题的方便，本节的计算一律作如下几个假定：①被保险人的生死遵循预定生命表所示的生死规律；②同一种类的保险合同，全部于该年龄初同时订立；③保险金于每年度末同时支付；④保险费按预定利率复利生息，并假定年利率为i；⑤假定保险金额均为1元（有特别说明者例外），因而所求得的纯保险费就是纯保险费率；⑥总是假定生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险，而不管实际情况是否这样，因为这并不影响结论的正确性。18山东大学张芳洁第三节寿险精算一、生命表生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。生命表可以分为国民生命表和经验生命表。前者是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表，它主要来源于人口普查的统计资料。后者是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表。保险公司使用的是经验生命表。19山东大学张芳洁第三节寿险精算ｘ：表示年龄20xlxdxq1xxxxxxdllqll1xxxpllxe121(...)2xxxlellll：生存数，是指从初始年龄至满ｘ岁尚生存的人数。：死亡数，是指ｘ岁的人在一年内死亡的人数。：死亡率，表示ｘ岁的人在一年内死亡的概率。Px:生存率。表示ｘ岁的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１岁时仍生存的概率。：平均余命或生命期望值。表示ｘ岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：山东大学张芳洁第三节寿险精算21txpxttxxlpltxq1txttxtxxllqpl/tuxq/xtxtutuxxllql表示ｘ岁的人在ｔ年内死亡的概率。表示ｘ岁的人在生存ｔ年后ｕ年内死亡的概率。表示ｘ岁的人在ｔ年末仍生存的概率。山东大学张芳洁第三节寿险精算二、（一）定期人寿保险的纯保险费假定x岁的人投保n年定期人寿保险，年初每个投保人应缴的纯保险费为元。依据收支相等原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有：2211vi1xxxCvdxxxDvl1:11(...)xnxxxnxACCCD121:11...nxxnxxxnlAvdvdvd1:xnA其中，为折现率。如果令：则可得到：山东大学张芳洁第三节寿险精算二、趸缴纯保险费（二）终身人寿保险的纯保险费假设生命表中所定最终年龄为ω岁，则有：2311(...)xxxxACCCD1...xxxMCCC1:xxnxnxMMADxxxMAD如果令：则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示为：山东大学张芳洁第三节寿险精算二、趸缴纯保险费（三）纯粹生存保险的纯保险费假定x岁的人投保n年定期生存保险，所缴的纯保险费为元。考虑利息因素，依据收支相等原则有：24nxEnxnxxnlEvlxnnxxDED:xnA1::xnxxnxnnxxnxDM