第9讲-隐函数求导法则

《数学分析II》第9讲教案1第9讲隐函数及其求导法则授课题目隐函数及其求导法则教学内容1.隐函数的定义；2.隐函数存在性定理；3.隐函数可微性定理；4.隐函数求导法则.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地理解隐函数概念，理解隐函数定理的条件及结论，掌握隐函数求导法则（含二阶导数）.教学重点及难点教学重点：隐函数求导法则；教学难点：隐函数可微性定理.教学方法及教材处理提示（1）本节的重点是隐函数概念及隐函数求导法则，通过简单实例讲清隐函数概念，把显函数看成是隐函数的特例。（2）以0),(yxF为例得出隐函数求导方法，类似地得出由方程0),,(zyxF所确定地隐函数),(yxzz的求导方法，并布置足量的习题.（3）先讲隐函数求导法则，再讲隐函数定理的条件与结论，对于较好的学生要求了解隐函数定理的证明要点并能熟记隐函数定理的条件与结论(4)隐函数可微性定理的证明是本讲的教学难点，对较好学生要求他们能理解．作业布置作业内容：教材151P:3（2，3，5），4，5.讲授内容一、隐函数概念在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如12xy，xyeuxyzsin这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。本节主要介绍由一个方程0),(yxF所确定的隐函数及其求导法；若由．．0),(yxF确定的隐函数为．．．．．．．)(xfy.,JyIx则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(IxxfxF例如方程01yxy，当x定义在),1()1,(上时，可得隐函数)(xfy，即.11xy由方程122yx能确定一个定义在1,1上，函数值不小于0的隐函数21xy；又能确定另一个定义在1,1上，函数值不大于0的隐函数21xy。方程.022cyx当0c时，就不能确定任何函数xf，使得.0)(22cxfx而只有当0c时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程0),(yxF在什么条件下才能确定隐函数。倘若方程0),(yxF能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程中解出y，并用自变《数学分析II》第9讲教案2量x的算式来表示（即使),(yxF是初等函数）。对于方程.0sin21yxy可以证明确实存在一个定义在),(上的函数)(xf，使得,0)(sin21)(xfxxf但这函数)(xf却无法用x的算式来表达。如果进一步要求上述隐函数)(xfy（或)(ygx）在点0P可微，则在F为可微的假设下，通过方程0),(yxF在点0P处对x求导，依链式法则得到可得到以下结论。由0),(yxF，两端对x求导，依链式法则可得：0000xxyxdxdyPFPF，所以，当0)(0PFy时，由上式可解出.000PFPFdxdyyxxx同理，当00PFx时，可得.000PFPFdydxxyyy二、隐函数定理定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若函数),(yxF满足下列条件：（i）函数),(yxF在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD上连续；（ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）；（iii）在D内存在连续的偏导数yxFy,；（iv）00,yxFy0，则在点0P的某邻域DPU)(0内，方程yxF,=0惟一地确定了一个定义在某区间),(00xx内的函数（隐函数）)(xfy，使得1º00yxf,当),(00xxx时，)())(,(0PUxfx且0)(,xfxF；2°xf在),(00xx内连续.证明：（只介绍证明大意，证明全过程留给同学自学）.例如图18-3所示的双纽线，其方程为.0)(),(22222yxyxyxF由于0)0,0(F，F与yyxyFy2)(422均连续，故满足定理条件(i)(ii)(iii)．但因0)0,0(yF，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．定理18.2（隐函数可微性定理）设),(yxF满足隐函数存在唯一性定理中的条件)()(ivi，又设在D内还存在连续的偏导数),(yxFy，则由方程0),(yxF所确定的隐函数在)(xfy在其定义域《数学分析II》第9讲教案3),(00xx内有连续导函数，且.),(),()('yxFyxFxfdxdyyx定理18.3（隐函数可微性定理）设三元函数),,(zyxF满足隐函数存在唯一性定理中的条件)()(ivi，又设在3RD内还存在连续的偏导数),,(zyxFz，则由方程0),,(zyxF所确定的隐函数在),(yxfz在其定义域内有连续偏导函数，且,),,(),,(zyxFzyxFxzzx),,(),,(zyxFzyxFyzzy.三、隐函数求导举例例1设由方程0sin21),(yxyyxF所确定的隐函数)(xfy，求y和y解：由于F及其偏导数yxFF,在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ），且,0)0,0(F（满足第（ⅱ）个条件，即初始条件），.0cos211),(yyxFy(满足第（ⅳ）个条件)。故方程确定了一个连续可导隐函数)(xfy；其导函数为.cos22cos2111,,'yyyxFyxFxfyx332)cos2()(8)cos2(sin4)cos2(sin2cos22yxyyyydxdyyydxdxf例2讨论笛卡儿（Descartes）叶形线（图18-4）0333axyyx所确定的隐函数)(xfy的一阶导数.解:显然axyyxyxF3),(33及yxFF,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得03,2axyyxFy的点yx,附近，方程0333axyyx都能确定隐函数)(xfy；所以，它的一阶导数如下：对方程求关于x的导数（其中y是x的函数），得0''22axyayyyx或.0'22yaxyayx于是.22'axyxayy.02axy例3讨论方程0),,(323zyxxyzzyxF在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数.《数学分析II》第9讲教案4解：由于zyxzFFFFFF,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(yxfz，且可求得它得偏导数如下：,31223xyzxyzFFxzzx.313223xyzyxzFFyzzy例4设由方程0),,(xzzyxyF所确定的隐函数),(yxzz，求xz，yz解：假设由方程能确定隐函数),(yxzz，在方程两边分别对x和y求偏导数，得0)(321xzxzFxzFyF0)1(321yzxFyzFxF解方程组得3231xFFzFyFxz，3212xFFxFFyz例5（反函数的存在性与其导数）推导反函数的求导公式：.)(1)(''xfyg证：设)(xfy在0x得某邻域内有连续的导函数)('xf，且00)(yxf.考虑方程.0)(),(xfyyxF由于0),(00yxF，1yF，),(),(0'00xfyxFx所以只要0)(0'xf，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程0)(),(xfyyxF能确定出在0y的某邻域)(0yU内的连续可微隐函数)(ygx，并称它为函数)(xfy的反函数.反函数的导数是.)(1)(1)('''xfxfFFygxy