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第-1-页共9页第9讲变换视角下的图形关系几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系（平行、全等、相似等）．基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系．本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）．这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用．下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究．解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力．一、从轴对称视角识别图形与构造图形1．题目的背景图形是轴对称图形１.１当背景图形是基本的轴对称图形或其复合图形时等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形及其复合图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的．这时，相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径．例1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．⑴写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；⑵选择你在⑴中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．ABCDPEF第-2-页共9页１.２当背景图形是由非基本轴对称图形的复合而成的轴对称图形时有的题目，背景图形比较复杂些，但它仍是轴对称图形，这时对问题解决的思考，也要特别注意从这一轴对称性入手．例2．已知，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．１.３沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线当题目的背景图形是轴对称图形时，如果需要作辅助线才能解决，那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性．例3．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且有EA=ED，EB=EC．求证：四边形ABCD是等腰梯形．CABDFEABCDE第-3-页共9页2．当题目的背景不是轴对称图形时，应善于发现和运用其中的轴对称成分有的题目，整个背景图形不是轴对称图形，但某个或某些部分却具有轴对称性，如果我们善于发现并恰当地在局部运用这一对称性，也会帮我们更快更好地获得解决方法．例4．将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图①），得到两张三角形纸片（如图②中的△ABC和△DEF），再将这两张三角形纸片摆放成如下图③的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．AEFDBCAEFDBCNMP①②③第-4-页共9页例5．如图①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．⑴如图②，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；⑵若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．顺便指出．．．．：对任何一个原本的轴对称图形，绕其对称轴上一点旋转α角（0°＜α＜360°），那么，由旋转前和旋转后两图形构成的新图形，都是一个新的轴对称图形．如：在图①中，等腰△ABC绕其顶点A逆时针旋转α角到△AB′C′，BC与B′C′相交于G，则组合起的新图形是以AG为轴的对称图形．在图②中，等腰△ABC绕其底边上的中点H逆时针旋转α角到△A′B′C′，AB与A′C′相交于点K，则组合起的新图形是以KH为轴的对称图8—5A(G)B(E)CD(F)①O②CBAGDFEMON③NCAGBEMDOFABGB′①CC′ABCHB′C′KA′②第-5-页共9页图形．因此，轴对称图形在一些适当的旋转下，可以产生新的轴对称图形．由以上两例可以看出，在复合图形中抽取出轴对称部分，常对问题的解决有着非常重要的作用．二、从“旋转变换”视角识别图形和构造图形要在图形相关问题中恰当而及时地运用“旋转变换”的性质，最根本的就要搞清楚哪些基本图形、哪些复合图形、哪些指定条件的图形是和“旋转变换”相关的，又是怎样相关的，掌握了这些内在的特性和规律，才有利于运用到新的问题情景中去．1．背景是具有“旋转对称性”的基本图形或其变形设O是如下正多边形的中心（即外接圆的圆心）．正（等边）三角形ABC绕其中心旋转120°与其自身重合，所以正三角形是120°的旋转对称图形．正方形ABCD绕其中心旋转90°与其自身重合，所以正方形是90°的旋转对称图形．正五边形是72°的旋转对称图形．正六边形是60°的旋转对称图形……正n边形是(360/n)°的旋转对称图形．我们把这些正多边形叫做具有旋转对称性的基本图形．实际上，对于等边三角形和正方形的旋转对称性，在关节四已做了较详细的介绍，而这些性质和应用，大都可类比地推广到正n边形中去．例6．⑴操作与证明：如图①，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值；⑵尝试与思考：如图②、图③，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a；ABCOABCODABCODEABCODEFABCDO图①ABCO图②ABCDEO图③图8—7第-6-页共9页⑶探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．例7．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．⑴当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图①），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；⑵当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图②），你在⑴中得到的结论还成立吗？简要说明理由．ABCDEF图①ABCDEF图②第-7-页共9页2．当背景图形有“两组等边做成有公共顶点的等角”时例8．如图①，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连结AF和BE．⑴线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的结论；⑵将图①中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图②，⑴中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；⑶将图①中的△ABC绕点C旋转一定的角度，画出变换后的图形，⑴中的结论是否还成立？⑷根据以上的活动，归纳你的发现．3.当背景图形有“有公共端点的等线段”时例4．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，作DE⊥DC，且取DE=DC，连结AE，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．3D．不能确定ABCEF图①ABCEF图②ABCEF图③ABCDE第-8-页共9页PCBADCBA4．当题目的条件中含有旋转变换时一般来说，当题目条件中有旋转变换时，就要考虑如何运用旋转变换的性质使问题得以更好的解决．例5．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），判断边AB1和边CB的位置关系，并给出证明．图形性质与图形间关系的发现，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力．练习题1.△ABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1，AD=3，并且∠BDC=3∠A，求BC的长．2.如图，△ABC中，60BAC，2ABAC．点P在△ABC内，且3PA，52PBPC，，求△ABC的面积．ABCB1C1第-9-页共9页3.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.⑴当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；⑵当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.