第9课时函数的简单性质(4)教师版

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念与图像§2.1.3函数的简单性质—奇偶性【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质【课堂互动】自学评价1．偶函数的定义：如果对于函数()yfx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么称函数()yfx是偶函数．注意：（１）“任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；2．奇函数的定义：如果对于函数()yfx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么称函数()yfx是奇函数．3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算()fx的解析式，并考察其与()fx的解析式的关系；(3)下结论.【精典范例】一．判断函数的奇偶性：例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：判断下列函数的奇偶性：(1)3()fxxx(2)()31fxx(3)64()8fxxx，[2,2)x(4)()0fx(5)42()23fxxx析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。【解】(1)函数3()fxxx的定义域为R，关于原点对称，且33()()()[]()fxxxxxfx，所以该函数是奇函数。(2)函数()31fxx的定义域为R，关于原点对称，()3()131()fxxxfx且()()fxfx，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。(3)函数64()8fxxx，[2,2)x的定义域为[2,2)不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。(4)函数()0fx的定义域为R，关于原点对称，()0()()fxfxfx，所以该函数既是奇函数又是偶函数。(5)函数42()23fxxx的定义域为R，关于原点对称，4242()2()3()23()fxxxxxfx，所以该函数是偶函数。二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：例2：已知函数()yfx是定义域为R的奇函数，求(0)f的值．【解】∵()yfx是定义域为R的奇函数，∴()()fxfx对任意实数x都成立，听课随笔函数奇偶性奇偶性定义奇偶性与函数图像奇偶性的证明单调区间定义听课随笔把0x代入()()fxfx得(0)(0)ff，∴(0)0f．三．已知函数的奇偶性求参数值：例3：已知函数2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，求实数m的值．【解】∵2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，∴()()fxfx恒成立，即2(2)()(1)()3mxmx2(2)(1)3mxmx恒成立，∴2(1)0mx恒成立，∴10m，即1m．追踪训练一1.给定四个函数33yxx；1(0)yxx；31yx；21xyx；其中是奇函数的个数是(B)()A１个()B２个()C３个()D４个2.如果二次函数2(3)(0)yaxbxca是偶函数，则b３．3.判断下列函数的奇偶性：（1）22(1)()(1)1xfxxx（2）21()2|2|xfxx（3）22()11fxxx解：(1)函数22(1)()(1)1xfxxx的定义域为(1,1)，关于原点对称，222(1)()(1)11(1)11xfxxxxxxx对于定义域中的任意一个x，22()1()1()fxxxfx所以该函数是偶函数；(2)函数21()2|2|xfxx的定义域2102|2|0xx得[1,0)(0,1]x关于原点对称，此时222111()2|2|2(2)xxxfxxxx对于定义域中的任意一个x，221()1()()()xxfxfxxx所以该函数是奇函数；(3)函数22()11fxxx的定义域为{1,1}关于原点对称，此时()0,{1,1}fxx，所以该函数既是奇函数又是偶函数。【选修延伸】构造函数的奇偶性求函数值：例３:已知函数53()8fxxaxbx若(2)10f，求(2)f的值。析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得,ab的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。【解】方法一：由题意得53(2)(2)(2)(2)8fab①53(2)2228fab②①＋②得(2)(2)16ff∵(2)10f∴(2)26f方法二：构造函数()()8gxfx，则53()gxxaxbx一定是奇函数又∵(2)10f，∴(2)18g因此(2)18g所以(2)818f，即(2)26f．听课随笔听课随笔说明：１．如果函数()yfx是奇函数或偶函数，我们就说函数()yfx具有奇偶性；根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；思维点拔：一、等式()()fxfx和()()fxfx的变形形式：我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将()fx进行化简，其方向是()fx或()fx以外，我们还可以看到其等价形式0)()()()(xfxfxfxf、0)()()()(xfxfxfxf或当()0fx恒成立时，也有()()()1()fxfxfxfx、()()()1()fxfxfxfx．追踪训练1．下列结论正确的是：(C)()A偶函数的图象一定与y轴相交；()B奇函数的图象一定过原点；()C偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数；()D定义在R上的增函数一定是奇函数．2.若函数fx为奇函数，且当0x时，1fxx，则当0x时，有（C）（）()Afx0()Bfx0()Cfxfx≤0()Dfx－fx03.设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．①y=－|f（x）|②y=xf（x2）③y=－f（－x）④y=f（x）－f（－x）中必为奇函数的有____②④____________．（要求填写正确答案的序号）．4.设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,f（x）的图象如下图,则不等式()0fx的解是(2,0)(2,5).5．若(),()fxgx是定义在R上的函数，()fx是奇函数，()gx是偶函数，且21()()1fxgxxx，求()fx的表达式．解：由题意得：221()()11()()1fxgxxxfxgxxx则22111()()211fxxxxx【师生互动】学生质疑教师释疑