机电控制基础第2章习题答案

第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。2.2什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。2.3图(题2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中xi表示输入位移,xo表示输出位移,假设输出端无负载效应。题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得c1(xi̇-xȯ)-c2xȯ=𝑚𝑥̈𝑜整理得𝑚𝑑2xod𝑡2+(c1+c2)dxodt=c1dxidt将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[𝑚𝑠2+(c1+c2)𝑠]Xo(s)=c1𝑠Xi(s)于是传递函数为Xo(s)Xi(s)=c1𝑚𝑠+c1+c2②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：K1(xi-x)=c(𝑥̇-xȯ)K2xo=c(𝑥̇-xȯ)消去中间变量x，可得系统微分方程c(K1+K2)dxodt+K1K2xo=K1cdxidt对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为Xo(s)Xi(s)=cK1sc(K1+K2)s+K1K2③图(c)：以xo的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：K1(xi-x)+c(xi̇-xȯ)=K2xo移项整理得系统微分方程cdxodt+(K1+K2)xo=cdxidt+K1xi对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即xi(0)=xo(0)=0则系统传递函数为Xo(s)Xi(s)=cs+K1cs+(K1+K2)2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(tur和位移)(txr为输入量；电压)(tuc和位移)(txc为输出量；1,kk和2k为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。C)(tur)(tuc)(txr)(txcf1k2kCR)(tur)(tucfk)(txr)(txc)(a)(b)(c)(d1R2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：iRuudtiCuccr1消去中间变量，整理得：dtduRCudtduRCrcc方法二：dtduRCudtduRCRCsRCsCsRRsUsUrccrc11)()()(b由于无质量，各受力点任何时刻均满足0F，则有：ccrkxdtdxdtdxf)(dtdxkfxdtdxkfrcc)(crrccrcudtduCRudtduCRRCsRRCsRCsRRCsRsUsU221212212)(1111)()()(d设阻尼器输入位移为ax，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程rrccaacarcrxdtdxkfxdtdxfkkkkdtdxfxxkxxkxxk22121221)()()(结论：)(a、)(b互为相似系统，)(c、)(d互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。L1R2RC)(tur)(tuc__1R2R1C2C__)(tur)(tuc1R2RLC)(tur)(tuc__)(a__RR1C2C)(tur)(tuc)(b)(c)(d题图2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a)1212212222212)()(1//)1(//)1()()(RsLCRRLCsRRsLCRRCsRLsRCsRLsRCssUsUrc(b)1)(1)(1)1//(1//1)()(21221122121221122121221111sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRRsCRsCRsCRsUsUrc(c)2121212212)()//(1)//(1)()(RRsLCRRLCsRLsRLsRCsRLsRCssUsUrc(d)sCRRsCRsCRRsCRsCRsCRsCsUsUrc121121211//)1(//)1(1//)1(1)()(1)2(1221221212212sRCRCsCCRsRCsCCR2.6求图(题图2.6)所示两系统的微分方程。题图2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有f(t)-ky(t)=mÿ(t)即mÿ(t)+ky(t)=f(t)（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有f(t)-k'y(t)=mÿ(t)其中𝑘′=𝑘1𝑘2𝑘1+𝑘2∴mÿ(t)+𝑘1𝑘2𝑘1+𝑘2y(t)=f(t)2.7求图(题图2.7)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。圆周半径为R，设系统输入为M（即M(t)），输出为𝜃（即𝜃(𝑡)），题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：{M=Jθ̈+Cmθ̇+Rk(𝑅𝜃−x)𝑘(𝑅𝜃−x)=mẍ+cẋ消除中间变量x，即可得到系统动力学方程𝑚J𝜃(4)+(m𝐶𝑚+cJ)𝜃⃛+(𝑅2𝑘𝑚+𝐶𝑚𝑐+𝑘J)θ̈+k(c𝑅2+𝐶𝑚)θ̇=m𝑀̈+𝑐𝑀̇+kM2.8求图(题图2.8)所示系统的传递函数（f(t)为输入，y2(t)为输出）。解分别对m1，m2进行受力分析，列写其动力学方程有{𝑓−𝑐2𝑦̇2−𝑐1(𝑦̇2−𝑦̇1)=𝑚2𝑦̈2𝑐1(𝑦̇2−𝑦̇1)−𝑘𝑦1=𝑚1𝑦̈1对上两式分别进行拉氏变换有{𝐹(𝑠)−𝑐2𝑠𝑌2(𝑠)−𝑐1𝑠[𝑌2(𝑠)−𝑌1(𝑠)]=𝑚2𝑠2𝑌2(𝑠)𝑐1𝑠[𝑌2(𝑠)−𝑌1(𝑠)]−𝑘𝑌1(𝑠)=𝑚1𝑠2𝑌1(𝑠)消除𝑌1(𝑠)得G(s)=𝑌2(𝑠)𝐹(𝑠)=𝑚1𝑠2+𝑐1𝑠+𝑘𝑚1𝑚2𝑠4+[𝑚2𝑐1+𝑚1(𝑐1+𝑐2)]𝑠3+(𝑚2𝑘+𝑐1𝑐2)𝑠2+𝑘(𝑐1+𝑐2)𝑠2.9若系统传递函数方框图如图(题图2.9)所示,求：(1)以R(s)为输入，当N(s)=0时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)为输出的闭环传递函数。(2)以N(s)为输入，当R(s)=0时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)为输出的闭环传递函数。(3)比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。题图2.8题图2.9解（1）以𝑅(s)为输入，当N(s)=0时：若以C(s)为输出，有𝐺𝑐(s)=𝐶(𝑠)𝑅(𝑠)=𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以Y(s)为输出，有𝐺𝑌(s)=𝑌(𝑠)𝑅(𝑠)=𝐺1(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以B(s)为输出，有GB(s)=𝐵(𝑠)𝑅(𝑠)=𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以E(s)为输出，有𝐺𝐸(s)=𝐸(𝑠)𝑅(𝑠)=11+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)（2）以N(s)为输入，当R(s)=0时：若以C(s)为输出，有𝐺𝑐(s)=𝐶(𝑠)𝑁(𝑠)=𝐺2(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以Y(s)为输出，有𝐺𝑌(s)=𝑌(𝑠)𝑁(𝑠)=−𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以B(s)为输出，有𝐺𝐵(s)=𝐵(𝑠)𝑁(𝑠)=𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)若以E(s)为输出，有𝐺𝐸(s)=𝐸(𝑠)𝑁(𝑠)=−𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)1+𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.10求出图(题图2.10)所示系统的传递函数)(/)(SXSXio。题图2.10G1G2G3G4H1H3G4H3H4G4-+--X0(s)-G1G2G3G4H1H3-H3G4H4G4+++Xi(s)X0(s)--G1G2G3G4H1H3G4H3H4G4-+--X0(s)-G1G2G4H1H3-H3G4---Xi(s)X0(s)G31+G3G4H4-G4H3-H3G4-Xi(s)X0(s)G1G2G31+G3G4H4-G2G3H3-解方法一：利用公式（2.3.1），可得GB(s)=Xo(s)Xi(s)=𝐺1𝐺2𝐺3𝐺41−𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4𝐻3+𝐺1𝐺2𝐺3𝐻2−𝐺2𝐺3𝐻1+𝐺3𝐺4𝐻4方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=𝐺1𝐺2𝐺3𝐺41−𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4𝐻3+𝐺1𝐺2𝐺3𝐻2−𝐺2𝐺3𝐻1+𝐺3𝐺4𝐻42.11求出图(题图2.11)所示系统的传递函数)(/)(SXSXio。解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）GB(s)=Xo(s)Xi(s)=𝐺1𝐺2𝐺3+𝐺41+(𝐺1𝐺2𝐺3+𝐺4)𝐻3−𝐺1𝐺2𝐺3𝐻1𝐻2题图2.11H3+Xi(s)X0(s)G4+G4+-G4G1G3G5H3-Xi(s)X0(s)G4+G1G2G3G1G2G3G1G2G31+G1G2G3H3H42.12图(题图2.12)所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。1m代表汽车质量，B代表振动阻尼器，1K为弹簧，2m为轮子的质量，2K为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图2.12问题2质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。𝑚1代表汽车质量，B代表振动阻尼器，𝐾1为弹簧，𝑚2为轮子的质量，𝐾2为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。解答：𝑚1𝑑2𝑥1𝑑𝑡2=−𝐵(𝑑𝑥1𝑑𝑡−𝑑𝑥2𝑑𝑡)−𝐾1(𝑥1−𝑥2)𝑚2𝑑𝑥2𝑑𝑡2=f(t)-B(𝑑𝑥2𝑑𝑡−𝑑𝑥1𝑑𝑡)−𝐾1(𝑥2−𝑥1)−𝐾2𝑥2拉氏变换：𝑚1𝑠2𝑋1(𝑠)=−𝐵𝑠[𝑋1(𝑠)−𝑋2(𝑠)]−𝐾1[𝑋1(𝑠)−𝑋2(𝑠)]𝑚2𝑠2𝑋2(𝑠)=𝐹(𝑠)−𝐵𝑠[𝑋2(𝑠)−𝑋1(𝑠)]−𝐾1[𝑋2(𝑠)−𝑋1(𝑠)]−𝐾2𝑋2(𝑠)(𝑚1𝑠2+𝐵𝑠+𝐾1)𝑋1(𝑠)−(𝐵𝑠+𝐾1)𝑋2(𝑠)=0−(𝐵𝑠+𝐾1)𝑋1(𝑠)+[𝑚2𝑠2+𝐵𝑠+(𝐾1+𝐾2)]𝑋2(𝑠)=𝐹(𝑠)𝑋1(𝑠)𝐹(𝑠)=𝐵𝑠+𝐾1𝑚1𝑚2𝑠4+𝐵(𝑚1+𝑚2)𝑠3+(𝐾1𝑚1+𝐾1𝑚2+𝐾2𝑚1)𝑠2+𝐾2𝐵𝑠+𝐾1𝐾2𝑋2(𝑠)𝐹(𝑠)=𝑚1𝑠2+𝐵𝑠+𝐾1𝑚1𝑚2𝑠4+𝐵(𝑚1+𝑚2)𝑠3+(𝐾1𝑚1+𝐾1𝑚2+𝐾2𝑚1)𝑠2+𝐾2𝐵𝑠+𝐾1𝐾22.13液压阻尼器原理如图(题图2.13)所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设ix为输入位移，ox为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼