第一型曲线积分的计算

§6.4第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的概念曲线形物体的质量设曲线形物体在xoy平面上占有可求长曲线L，其线密度为连续函数),(yxf，求该物体的质量m。x),(iiA1M1iMiMBoyL1nM2M（2）近似iiis),(，则(,)iiiimfs。（3）求和iiinisfm),(1。（4）取极限令}{max1inisd，则),(lim10niiiidsfm。（1）分割在上L任取点列121,,nMMM，把小分为nL段),,2,1(nisi，同时也以is表示第i小段弧长。x),(iiA1M1iMiMBoyL1nM2M),(lim),(10niiiidLsfdsyxf，其中),(yxf称为被积函数，L称为积分弧段。注：（1）当),(yxf在光滑曲线L上连续时，Ldsyxf),(存在。（2）将上述定义推广，可得空间曲线L上的第一型曲线积分：),,(lim),,(10niiiiidLsfdszyxf。二、第一型曲线积分的计算法22)()(:dydxds弧微分公式baLdxyxyxfdsyxf21))(,(),((2)(),,Lyyxaxb若曲线的方程为则dttytxtytxfdsyxfL)()())(,)((),(22()(1),,()xxtLtyyt若曲线的方程为则(3)．若由L方程)(sin)(cos)()(yx或给出，则取为参数，dds)()(22dfdsyxfL)()(]sin)(,cos)([),(22。(4).若空间光滑曲线的L参数方程为)(txx，)(tyy，)(tzz)(t，则dttztytxds)()()(222，dttztytxtztytxfdszyxfL)()()()](),(),([),,(222。(1),LL第一型曲线积分无方向性化成定积分时应上限大于下限。(2)因被积函数f(x,y)定义在曲线L上,应将曲线方程代入被积函数。(3)f(x,y)1时，ds表示的弧长。注.0,:222yRyxLdsxL求1例.)1,0(),0,1(),0,0(:,)(的折线连接三点BAOLdsyxL2例3例.129:,)(222222zxzyxLdszyxL其中计算4例22222),:.0LxyzRyzdsLxyz计算（其中5例22322:4LLxyxdsxy（1）设，则3104Lxds＝＝2222:1,242)LxyLaxyxyds（2）设，其周长为则（22()24Lxydsa＝4＝4.0122Ayzzyx下方那部分的侧面积上方与位于平面求圆柱面的柱面面积。高为轴母线平行于为准线表示以时当),(,,),(,0),(yxfzzLdsyxfyxfL6例