第一章 基本概念

第一章基本概念§1微分方程及其解的定义一．[内容简介]本节结合常微分方程的实例，讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语.二．[关键词]常微分方程，微分方程的通解，初始条件，特解三．[目的与要求]1．正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.2．了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题.四．[教学过程]§1微分方程及其解的定义一．何谓微分方程这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方程说起.在代数中我们研究过求解高次代数方程00111axaxaxannnn.代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数nnaaaa,,,,110与未知数x组成的等式，运算有：,,,,乘方，，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.在数学分析中也研究过由隐式0),(yxF确定的隐函数)(xy的问题.函数方程——至少含有两个变元的关系式，即由自变量x和函数y组成的等式.运算有,,,,函数运算，.它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限.定义1所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式.例如，tdtdx2，)1.1(0dy，)2.1()0(13xxyxdxdy，)3.1(21ydxdy，)4.1(xyyy'''，)5.1(0...xax，)6.1(uyuyxux，)7.1(以上这些都是微分方程.只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例)1.1(—)6.1(都是常微分方程，)7.1(是偏微分方程.方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如，)1.1(，)2.1(，)3.1(，)4.1(，)7.1(是一阶方程，)5.1(和)6.1(是二阶方程.一般n阶常微分方程具有形式0),,,,()('nyyyxF)8.1(或者是显式),,,,()1(')(nnyyyxfy)9.1(由代数方程引出微分方程，问题是出现了什么新东西？二．微分方程的有关概念1．微分方程的线性与非线性ⅰ）线性微分方程如果)8.1(式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称)8.1(为n阶线性常微分方程.ⅱ）非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程.n阶线性常微分方程的一般形式是)()()()()1(1)(0xgyxayxayxannn，)10.1(其中)(),(,),(),(10xgxaxaxan都是已知的实值连续函数.在上例中，)1.1(，)2.1(，)3.1(，)6.1(，)7.1(是线性的，)4.1(，)5.1(是非线性的.2．微分方程的解微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间I.定义2设函数)(xy在区间I上连续，且有直到n阶导数,若用,),(),('xx)()(xn分别代替方程)8.1(中的)(',,,nyyy后，使)8.1(在I内为关于x的恒等式，即0)(,),(),(,)('xxxxFn，则称函数)(xy为方程)8.1(在区间I上的一个解.以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解)(xy的直到n阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当函数)(x在区间I内具有直到n阶连续微商时，常简记为)()(ICxn，或者nCx)(.C表示)(x在区间I内连续.例1求微分方程)(xfdxdy的解，其中Cxf)(.解在数学分析中就是求函数)(xf的原函数)(xy，故只需要在上式两端关于自变量x积分，便得到Cdxxfxy)()()11.1(这里C是任意常数，显然不论C取任何值，上式都是方程的解.从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解.给C一个确定的值，就得到方程的一个解.3．通解和特解因为方程)(xfdxdy的任一确定的解，必有)11.1(的形式（但其中的C取特定的值）,故)11.1(称为此方程的通解，当C取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解.一般地，我们有：定义3设n阶微分方程)8.1(的解),,,,(21ncccxy包含n个独立的常数nccc,,,21，则称它为n阶微分方程)8.1(的通解；若)8.1(的解)(xy不包含任意常数，则称它为特解.从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解，它是解的一般表达式，但有例子可以说明，通解不一定是方程的全部解.这里称n个任意常数nccc,,,21是独立的，其含意是)1(',,,n关于nccc,,,21的雅可比(Tacobi)行列式0,,,,,,)1(2)1(1)1('2'1'2121)1('nnnnnnnnccccccccccccDD.显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例2中，当0xx时，00)(yxyxx.这里取0yC，则有特解xxdttfyxy0)()(0.我们把00)(yxyxx称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.4．初值条件、初值问题例3在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律.设落体的运动只在重力作用下进行，不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的自由落体运动.如图1.1.取坐标轴y从地面垂直向上，问题是：落体B的位置坐标)(tyy如何随时间t变化？在运动过程中，落体只受重力F的作用，设落体的质量是m，则mgF，其中g是重力加速度，这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与y轴的正方向相反.因为)(tyy表示B的位置坐标，所以它对t的一阶导数)(''tyy表示B的瞬时速度)(tvv；而二阶导数)(''''tyy则表示B的瞬时加速度)(taa.由牛顿第二运动定律，有maF，故得mgtmy)(''，这样可得一个微分方程gty)(''（1.12）为了得出落体的运动规律，需要求解这个微分方程.在（1.12）两侧对t积分一次，得1')(Cgtty（1.13）其中1C是一个任意常数，再把（1.13）对t积分一次，就得21221)(CtCgtty（1.14）其中2C是另一个任意常数.可知（1.14）是微分方程（1.12）的通解.通解（1.14）就表示自由落体的运动规律，在（1.14）中含有两个任意常数.这说明微分方程（1.12）有无穷多个解.为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件：0)0(yy，0')0(vy（1.15）将条件（1.15）分别代入（1.13）和（1.14），可得02yC，01vC.这样，在初值条件（1.15）下，从微分方程（1.12）唯一地确定了一个解00221)(ytvgtty（1.16）它就描述了具有初始高度0y和初始速度0v的自由落体运动.称（1.16）是初值问题0'0'')0(,)0(vyyygy（1.17）的解，初值问题又叫柯西问题.由以上简单实例可以看出：1．微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解（不考虑定解条件），则n阶微分方程的解应该包含n个任意常数.2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来，同时也可以追朔它的过去.3．一般对n阶微分方程)8.1(的初值问题的提法是：)1(00)1('00'00)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy（1.18）于是n阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：)1(00)1('00'00)(')(,,)(,)(0),,,,(nnnyxyyxyyxyyyyxF（1.19）求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解，再利用初值条件定出通解中的任意常数，从而得出要求的特解.微分方程是数学理论联系实际问题的重要渠道.大家知道,微积分是现代数学的核心内容之一，用微积分解决实际问题的重要途径就是使用微分方程.在二十世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在则几乎在自然科学和工程技术的每一个部门都有或多或少的微分方程问题，甚至在生物、农业以至经济学等方面也获得了越来越多的应用.为了解决这些问题，就有必要建立微分方程本身的基础理论，而这又需要用到数学其它分支学科的知识，并往往推动这些分支学科的发展，反过来，这些学科的发展也常常通过微分方程进一步更好地解决生产实际和工程技术中的问题.本课程的任务就是要介绍常微分方程理论中的一些最主要的问题，以及求解常微分方程的一些最基本方法.至于偏微分方程，我们只在第十一章涉及到一点，不去专门研究它.关于本课程所要研究的几个主要问题.首先，自然是求通解的各种方法，即所谓初等积分法，这是第二章的主要内容.其次是：对于一般的微分方程，研究它的解是否存在和唯一，以及解对初值或参数的依赖关系.这是第三章和第五章§3、§4的内容.再次，对于在实用上经常遇到而在理论上发展得比较完善的线性微分方程组和高阶线性微分方程的理论和求解方法，这是第五章§1、§2和第六章的内容.最后在第八章中介绍用定性方法研究非线性方程的最基本的知识，关于这方面的知识近几十年来有很大的发展，同学们应该对它有所了解.最后我们指出：一个n阶微分方程的通解应该包含n个独立的任意常数；反之，对于一个包含n个独立的参数nccc,,,21的n次可微的函数族，存在一个形如)8.1(的n阶微分方程，使得该函数族恰好是它的通解.例4求双参数函数族xeCxeCyxxsincos21)20.1(所满足的微分方程.解依题意，要找双参数函数族所满足的微分方程（更确切地说，即使要找由)20.1(式所确定的隐函数),,(21CCxy所满足的，以x为自变量，并且不包含21,CC的微分方程）.可以将)20.1(式对x求导两次，得)cos(sin)sin(cos21'xxeCxxeCyxx，)21.1()cos2()sin2(21''xeCxeCyxx，)22.1(从以上两式可知雅可比(Tacobi)行列式0)cos(sin)sin(cossincos,,221'xxxxxexxexxexexeCCDyyD,这说明)20.1(中包含的两个任意常数21,CC是独立的.从上面)20.1(和)21.1(两个式子中解出].cos)cos(sin[],sin)cos(sin['2'1xyxxyeCxyxxyeCxx然后把它们代入)22.1(式，得到一个二阶微分方程022'''yyy)23.1(这就是函数族)20.1(所满足的微分方程.习题1—11．指出下列微分方程的阶数，并说明哪些方程是线性的：（1）16522ydxdyxdyd；（2）0)43()2(2222dyyxdxyx；（3）22yxdxdy；（4）0sin2'''yxyyy；（5）xyxxdydexdydxcos22233.答案：（1）二阶线性方程；（2）一阶非线性方程；（3）一阶非线性方程；（4）二阶非线性方程；（5）三阶线性方程；2．验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解：（1）xxysin，xyxycos'；解由xxysin对x求导得2'sincosxxxxy，故xxxxxxxxyxycossinsincos2'，所以xxysin是方程xyxycos'的解.（2）,,4