第60课直线的斜率与倾斜角

高考数学一轮复习85课（通用篇）第60课直线的斜率与倾斜角第九章直线与圆的方程第60课直线的斜率与倾斜角一、考纲要求：1、深刻认识在平面直角坐标系中确定直线的两个要素；2、理解直线的倾斜角及其斜率的概念，并深刻认识它们之间的关系；3、熟练掌握过两点直线斜率的计算公式。二、知识梳理回顾：1、直线的倾斜角：在直角坐标系中，一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角，我们规定与x轴平行的直线的倾斜角为0，于是，的取值范围是0,。2、直线的斜率：当2时，直线的斜率tank，当2时，直线的斜率不存在。3、经过两点11122212,,,PxyPxyxx的直线的斜率k；若12xx，则k，直线的状态是。解析：1、任意一条直线都有倾斜角，并且倾斜角是唯一的，除了垂直于x轴的直线外，所有直线都有斜率，并且唯一。垂直于x轴的直线不能用斜率求解，可以由图形求解。2、直线的斜率k与倾斜角的关系为tan2k，当从02时，k相应地从0增大到；当从2时，k相应地从增大到0。实质上是正切函数tany在0,且2上的单调性。3、深刻理解经过两点11122212,,,PxyPxyxx的直线的斜率是111222,,,PxyPxy两点在y轴上投影的坐标差与在x轴上投影的坐标差的比值，求它们差的“方向”要一致。三、诊断练习：1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评：题1、经过点0,0,1,3AB的直线l的斜率k，倾斜角。【分析与点评】（1）由斜率公式得斜率3k，从而倾斜角60。（2）由斜率求倾斜角，本质是已知正切的函数值，求在区间0,内的角；已知倾斜角求斜率，本质是求一个在0,内的角的正切值，须注意角不能等于2。解决这两类问题的关键在于熟记特殊角的三角函数值。（3）应用直线的斜率公式时，一定要首先判断两点的横坐标1x与2x是否相等，若相等，则斜率不存在；高考数学一轮复习85课（通用篇）第60课直线的斜率与倾斜角若不相等，再用公式求斜率；若不能确定，就必须进行分类讨论。题2、已知点2,,,4PmQm，且直线PQ的斜率为1，则实数m的值为。【分析与点评】由斜率公式得到关于m的方程，解得1m。题3、若三点4,3,5,,6,5ABaC在同一条直线上，则a。【分析与点评】本题改编自课本习题。目的在于应用斜率公式来解决与斜率相关的数学问题。可提问：（1）求变量的值，关键在于建立等量关系，本题如何建立关于a的等量关系？你有哪些思路？由此可得到解决本题的几种思路：①利用斜率相等；②利用两点间的距离；③利用向量关系；④由两点得到直线方程，第三点满足方程。由此可得到4a。（2）【变式】若三点4,3,5,,6,5ABaC构成三角形，则a的取值范围是。题4、若一条直线的倾斜角,63，则这条直线的斜率k。【分析与点评】（1）k与之间的联系是什么？求k的范围的本质是什么？（2）由角的范围去求它的正切的范围时，可以采用“以形助数”的方式来解决，同时注意端点的取舍问题。3、要点归纳：（1）应用涉及到斜率的有关问题或用斜率来处理问题时，要树立“斜率存在的意识”，也就是要有分类讨论的意识。（2）由倾斜角的范围研究斜率的范围或由斜率的范围去研究倾斜角的变化范围，要注重数形结合法的应用，以形助数，辅助分析，帮助理解。四、范例导析：例1、已知一条直线的斜率1,3k，求直线倾斜角的取值范围。【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。在学生遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1、本题的本质是什么？（确定研究方向）问题2、怎样由正切的值（或值域）来研究角的值（或取值范围）？关键点在哪里？（一是确定端点的值，二是确定变化规律）由tan1,0k时，得3,4；当tan0,3k时，得0,3。问题3、你有什么好的方法来确定角的变化规律？（数形结合法）例2、已知,3,2,1,1,4AmmBmC，直线AC的斜率等于直线BC斜率的3倍，求实数m的值。【教学处理】要求学生独立思考并解题，并请学生板演，教师进行点评。【引导分析与精讲建议】提出下列问题请学生思考：问题1：本题中的直线的斜率一定存在吗？为什么？问题2：求出的实数m有什么样的要求？（保证斜率存在）由75313mmm解得1m或2。【点评】本题要求熟练、正确使用斜率公式，求出的m的值要使公式有意义。高考数学一轮复习85课（通用篇）第60课直线的斜率与倾斜角【变式】已知直线经过点2,3Pab和4,6Qba，且0a，求直线的斜率。例3、已知直线l过点1,0P，且与以2,3,3,0AB为端点的线段AB有公共点，求直线l斜率的取值范围。【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,画图并独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1：从你所画出的图形中，直线l要与线段AB有公共点，直线l应该如何旋转变化？问题2：直线l在连续旋转变化时，它的斜率是不是也连续变化？由1,0PAPBkk得直线l的斜率的取值范围是0,1。【点评】本题要求熟练地掌握直线的斜率的变化规律与直线的旋转变化之间的关系。【变式】已知直线l过点1,0P，且与以2,3,2,2MN为端点的线段MN有公共点，求直线l斜率的取值范围。五、当堂反馈：1、若一条直线的倾斜角是钝角，则这条直线斜率的取值范围是。【分析与点评】由tan,,2k得0k。2、光线射到x轴上并反射，已知反射光线的倾斜角是150，则入射光线的斜率为。【分析与点评】根据光线反射定律得入射光线的倾斜角为30，故入射光线的斜率为33。3、斜率为2的直线过3,5,,7,1,ab三点，则a，b。【分析与点评】由7552313ba得4,3ab。4、已知直线l的斜率21kmmR，则k的取值范围是，倾斜角的范围是。【分析与点评】由21kmmR得1k，从而倾斜角的范围为0,,42。六、解题反思：1、直线的斜率与直线的倾斜角都是刻画直线的倾斜程度的量，倾斜角是从“形”的角度来刻画倾斜程度，而斜率是从“数”的角度来刻画倾斜程度；它们是一个问题的两个不同的表现形式，它们之间既相互联系，它们统一于任意角的三角函数定义，同时，它们也有一定的区别，任何直线都有倾斜角，它的范围为0,，但并不是所有直线都存在斜率，垂直于x轴的直线不存在斜率，它的范围是R；2、在研究直线的斜率与直线的倾斜角的关系时，它的本质是由定义域研究值域或由值域研究定义域的问题，具体操作时，要注意数形结合思想的应用，通过正切函数在0,内的图象来确定问题的答案，如诊断练习中的题4，例1的研究方法；3、研究直线的斜率时，要树立“斜率存在的意识”，注意分类讨论思想的应用，如例2的变式。（执笔：江苏省高邮中学邹广银）