第一章1.3.1(上)函数的单调性

1第一章1.3.1（上）函数的单调性教学目的：⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质；⑶能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：一.引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？提出课题：函数的单调性，最大（小值）和函数的奇偶性。2．画出下列函数的图象，观察其增大或减小的变化规律：1．f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．上升；,，增大2．f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．下降；,；减小3．f(x)=x2①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．,0；增大；0,；减小yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1112fx()=x112fx()=x21fx()=2∙x+12)(xf图6yx-5-21351x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图4yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图5yx二.新课教学（一）函数单调性定义----上升下降的解析意义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．2．单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：注意：：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,xx那样的特定位置上，虽然使得f(1x)f(2x)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.（二）典型例题例1．如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.解：函数y＝f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数.在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。用画图象划分单调区间3说出1：一次函数)0(kbkxy的单调性，单调区间：说出2：二次函数)0(2acbxaxy的单调性，单调区间：以对称轴为界说出3：反比例函数)0(kxky的单调性，单调区间：单调区间的写法这里不能写“”及理由注意：：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。例2．（讨论）作出函数24||3yxx=-+的图象并指出它的的单调区间．解：24||3yxx=-+的单调减区间为(,2],[0,2]-?,单调增区间为[2,0],[2,)-+?.两种画法例3．讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a(x-a)axxf(x)，对称轴ax∴若2a,则322axxf(x)在(-2,2)内是增函数；若22a则322axxf(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若2a,则322axxf(x)在(-2,2)内是减函数.例4．物理学中的玻意定律kpV=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.分析:只要证明函数kpV=在区间(0,)+?上是减函数.证明:设1V,2V是(0,)+?上的任意两个实数，且1V2V，则p(1V)－f(2V)=1Vk－2Vk=2112VVVVk,由1V,2V∈(0,+)，得1V2V0,4又由1V2V,得2V－1V0,又k0,于是p(1V)－p(2V)0,即p(1V)p(2V)∴kpV=(0,+)上是减函数,即当体积v减小时,压强p将增大.指出：判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例5．证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数．说明：本例利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三.归纳小结1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2、直接利用初等函数的单调区间。四.作业布置1．书面作业：课本P32练习：2、3、4P39习题1.3（A组）第1-4题．2(补充)证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.作业本：1.3.1（一）课外作业：成材之路：P271.3.1（1）；背面1.3.1（1）