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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题．(×)(2)命题“α＝π4，则tanα＝1”的否命题是“若α＝π4，则tanα≠1”．(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(5)(2014·上海改编)设a，b∈R，则“a＋b4”是“a2且b2”的充分条件．(×)(6)若α∈(0,2π)，则“sinα＝－1”的充要条件是“α＝32π”．(√)1．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4答案C解析命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”，故选C.2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．2C．3D．4答案B解析向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，∴命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．4．(2014·安徽)“x0”是“ln(x＋1)0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析∵ln(x＋1)0，∴0x＋11，∴－1x0.∵x0是－1x0的必要不充分条件，故选B.题型一四种命题及真假判断例1(1)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案(1)D(2)B解析(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．(2)将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cosα＝12”的逆命题是()A．若α＝π3，则cosα≠12B．若α≠π3，则cosα≠12C．若cosα＝12，则α＝π3D．若cosα≠12，则α≠π3(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)C(2)C解析(1)命题“若α＝π3，则cosα＝12”的逆命题是“若cosα＝12，则α＝π3”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例2(1)(2014·福建)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案(1)A(2)C解析(1)将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝1k2＋1.又弦长为21－1k2＋1＝2|k|k2＋1，所以S△OAB＝12·1k2＋1·2|k|k2＋1＝|k|k2＋1＝12，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.(2)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．(1)(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)C(2)A解析(1)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．(2)当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．题型三根据充要条件求解参数的取值范围例3(1)函数f(x)＝log2x，x0，－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a0B．0a12C.12a1D．a≤0或a1(2)已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为()A．m4B．m4C．0m4D．0≤m4思维点拨考虑条件所对应集合的包含关系，“以小推大”．答案(1)A(2)A解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a1.观察选项，根据集合间关系{a|a0}{a|a≤0或a1}，故答案选A.(2)∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－40，即m4，选A.注意m0时也表示A＝∅.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)条件p：－2x4，条件q：(x＋2)(x＋a)0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4]D．[4，＋∞)(2)已知命题p：实数m满足m2＋12a27am(a0)，命题q：实数m满足的方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．答案(1)B(2)[13，38]解析(1)由题意，可得p是q的充分不必要条件，∴{x|－2x4}{x|(x＋2)(x＋a)0}，∴－a4，即a－4.(2)由a0，m2－7am＋12a20，得3am4a，即命题p：3am4a，a0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－mm－10，解得1m32，即命题q：1m32.因为p是q的充分不必要条件，所以3a1，4a≤32或3a≥1，4a32，解得13≤a≤38，所以实数a的取值范围是13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(1)设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．[0，12]B．(0，12)C．(－∞，0]∪[12，＋∞)D．(－∞，0)∪(12，＋∞)(2)f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋13}，Q＝{x|f(x)－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()A．t≤－1B．t－1C．t≥3D．t3答案(1)A(2)D解析(1)设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|12≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴a≤12，a＋11或a12，a＋1≥1，故所求实数a的取值范围是[0，12]．(2)依题意，P＝{x|f(x＋t)＋13}＝{x|f(x＋t)2}＝{x|f(x＋t)f(2)}，Q＝{x|f(x)－4}＝{x|f(x)f(－1)}．因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t2}＝{x|x2－t}，Q＝{x|x－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t－1，解得t3.温馨提醒(1)本题用到的等价转化①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的