第8章-矩阵和行列式初步

QinxiMath汇聚大同大有不同1第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由mn个数(1,2,3,;1,2,3,)ijaimjn，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnijmnmmmnaaaaaaAaaaa，叫做一个m行n列的矩阵，简记为mn矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，矩阵A111212122212nnmmmnaaaaaaaaa叫做一般线性方程组的系数矩阵，A11121121222212nnmmmaaabaaabaab叫做一般线QinxiMath汇聚大同大有不同2性方程组的增广矩阵；如：方程组2538xyxy对应系数矩阵1231，其中1行2列的矩阵1,2,3,1叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001，叫做单位矩阵.(6)空集是指不含任何元素的集合.（}0{、和}{的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合间的关系及其运算2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()nnijmnmmmnaaaaaaAaaaa，111212122212()nnijmnmmmnbbbbbbBbbbb，则CAB111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab.（2）矩阵的加法满足性质:交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k乘矩阵()ijAa的每个元素所得的矩阵()ijka叫做数k与矩阵A相乘的积，记作kA；【注意】两个矩阵相等：两个矩阵相等指的是这两个矩阵的行数、列数相同，而且对应的元素都一一相等.即若(),()ijijAaBb，当且仅当(1,2,3,;1,2,3,)ijijabimjn都成立时，这两个矩阵相等，记作AB.规律：满足一下规律：(,kAB为数，为矩阵）①()klAkAlA;②()kABkAkB;③()klA()klA.QinxiMath汇聚大同大有不同3（4）设矩阵111211121112212221222122,,aabbccABCaabbcc.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ijijijcababij，则C叫做矩阵A和矩阵B的积，记作C=AB（5）矩阵A的初等变换，指的是对A实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,axbycaxbyc当12210abab时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221cbcbxababacacyabab，为了方便记忆，引入定义acbdadbc，acbd叫做二阶行列式，adbc叫做二阶行列式的展开式；设1122abDab，1122xcbDcb，1122yacDac，则方程组的唯一解可表示为：xyDxDDyD.（2）二元一次方程组的解的判别：【注意】两个矩阵的乘积：注意:①只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，这两个矩阵乘积才有意义，才可以相乘.②一般地，ABBA.①交换矩阵A的两行（列）；②以非零常数k乘矩阵的某一行（或列）；③以非零常数k乘矩阵的某一行（列）后加到A的另一行（列）上去.注意：非零向量1122,abab不平行的充要条件是0D.思考：（1）0D表示向量12aaa与12bbb平行；（2）当向量a、b不平行时，方程组有唯一解.QinxiMath汇聚大同大有不同4（i）0D，方程组有唯一解；（ii）0D：①xyDD、中至少有一个不为零，方程组无解；②0xyDD，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123abcbcacab321123132abcbacabc②按一行（或一列）展开.111222333abcabcabc=123231312321213132abcabcabcabcabcabc123321322312332()()()abcbcbacaccabab补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333abcaabbccabc111222333abcabcabc+111222333 abcabcabc.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.QinxiMath汇聚大同大有不同5(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用 ,ij分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．乘以(1)ij所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333abcDabcabc=222222aAbBcC.(6)三元线性方程组111122223333axbyczdaxbyczdaxbyczd，对应系数行列式111222333abcDabcabc,111222333xdbcDdbcdbc，111222333yadcDadcadc，111222333zabdDabdabd.①当0D时，方程组有唯一解xyzDxDDyDDzD；②当0=0xyDDD且，时，方程组有无穷多解；③当0xyDDD且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式:△ABC的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，则ABCS△11223311121xyxyxy.②同一平面上ABC、、三点共线的充要条件为112233111xyxyxy=0.一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示QinxiMath汇聚大同大有不同68.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437xyxy（2）214625xzyzxyz【参考答案】（1）35356,43437（2）1021021014,01462112115过关演练1.方程组21320xyxy对应的增广矩阵为__________.[:学科网ZXXK]2．如果矩阵111113是线性方程组111222axbycaxbyc的增广矩阵，则这个线性方程组的解yx可用矩阵表示为__________.3.已知线性方程组的增广矩阵矩阵431572145238，写出其对应的线性方程组__________.4.写出一个系数矩阵为单位矩阵、解为1行3列矩阵531的线性方程组为__________.5.若关于x、y的二元一次方程组1,2mxymxmym无解，则m__________.6.用矩阵变换的方法求解方程组3560437xyxy的解.7.关于x、y的二元一次方程组1,323,mxymxmym的系数行列式0D是该方程组有解的（）科#网]A.充分非必要条件B.必要非充分条件[来源:学*科*网]C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件QinxiMath汇聚大同大有不同78.已知矩阵M=11ab，20cNd，且2020MN，（Ⅰ）求实数,,,abcd的值；（Ⅱ）求直线3yx在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程.9.在平面直角坐标系xoy中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)ABC，设k为非零实数，矩阵001,0110kMN，点ABC、、在矩阵MN对应的变换下得到点分别为111ABC、、,111ABC的面积是ABC面积的2倍，求k的值.8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵30-21A，矩阵-2122B，求矩阵X，使其满足BXA32．【参考答案】813320【例2】已知下列矩阵3110146,602413,591732CBA，计算：（1）A(B+C)(2)(B+C)A(3)BA+CA(4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？【参考答案】（1）1198245（2）151842234610131133（3）151842234610131133（4）(B+C)A=BA+CAQinxiMath汇聚大同大有不同8过关演练1.计算矩阵的乘积13-23-16201-3-201-43052-14=__________.2.某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵123958890908592,807678758360XXX，表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵X可用321，X，XX表示为__________.3.方程组125112xy的解是__________.4.平面上任意一点在矩阵10105的作用下（）A.横坐标不变，纵坐标伸长5倍B.横坐标不变，纵坐标缩短15倍C.横坐标、纵坐标均伸长5倍D.横坐标、纵坐标均缩短15倍5.定义运算：bcaddcba，若复数),(Ryxyixz满足111z的模等于x，则复数z对应的点),(yxZ的轨迹方程为__________.其图形为__________.6.已知二元一次方程组111222,axbycaxbyc，若记12aaa，12bbb，12ccc，则该方程组存在唯一解的条件为__________.（用a、b、c表示）．7.某个线性方程组的增广矩阵是110201，此方程组的解记为),(ba，则行列式0123212ab的值是__________.8．已知关于xy、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222abcabc，记121212(,),(,),(,)aaabbbccc，则此线性方程组有无穷多组解的充要条