第一章函数极限连续

第一章函数极限连续微积分是数学中的重要分支，是高等数学的核心.函数和极限分别是微积分研究的对象和工具.本章将在复习和加深函数有关知识的基础上，着重讨论函数的极限和函数的连续性等问题.本章重点：函数概念，极限的四则运算，两个重要极限；连续函数概念及闭区间上连续函数的性质.难点：极限概念，函数的连续点和间断点的判别.第一节第一节函数重点：函数的概念及性质，求函数的定义域，基本初等函数的基本性质及图形，会求初等函数的定义域难点：函数性质判断具有的授课内容：一函数的概念，1．定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D。变量y按照一定的法则f，有惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D.其中x叫做自变量，y叫做因变量。数集D称为函数的定义域，i)i)函数y=f(x)在x0∈D处的函数值，记作y0=y|x=x0=f(x0)ii)ii)表示函数的记号有多种，如：y=F(x),y=g(x)y=ψ(x)y=ф(x)iii)iii)函数定义中，如果对于给定的x值，对应的y值有多个，则称此函数为多值函数。符合上述定义的函数称为单值函数例１．例１．匀速直线运动中，高物体运动的速度为v物体运动的时间为t，则物体运动的路程s与物体运动的速度，时间之间的关系式为s=vt例２．例２．一商场衬衣零售价为１２０元/件，每件衬衣的利润为零售价的２０％，如果这家市场一年卖出，这种衬衣的用x表示，所获得的利润用Ｑ表示，则这种衬衣一年所获得的利润Ｑ与所售衬衣件数x之间的关系为Q=12020%x2.函数的定义域满足实际要求且使算式成立的一切实数组成的集合称为函数的定义域例３．例３．求y=的定义域解：要使x4-16≥0,必须x4≥16即x2≥4所以x≥2或x≤-2所以函数y=的定义域(,-2)[2,]例４．例４．求y=ln解：因为＞０时函数才有意义.要使＞０则或416x416x32xx32xx32xx3020xx3020xx即或所以x＞3或x2所以函数y=ln的定义域为x3或x23.函数的表示法通常函数的表达方式有三种：公式法、表格法和图示法。①①公式法：用数学公式表示函数关系的方法，称为公式法。例：s=vty=表示的函数并不都是用一个数学式子表示。用多个数学式子表示的函数称为分段函数。例如符号函数y=sgnx=就是一个分段函数②②表格法：以表格形式表示函数关系的方法称为表格法例5例5某化工厂4月份前半月每六生产杀虫剂的产量如表1-1所示：表1-1日期123456789101112131415产量Ｗ（吨）312928303227313029283432302930它的定义域D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}③③图示法：用图表示两个变量之间的函数关系的方法称为图示法。如图1-1表示变量x与y的函数关系.二、函数的几种特性１．１．函数的有界性定义１：设函数f(x)在区间Ｉ上有定义，如果存在一个正数Ｍ，对于所有的xI,对应的函数值f(x)恒有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)在I内有办，如果这样的正数M不存在，则称函数f(x)在I内无界。例５．例５．函数f(x)=cosx在（）内是有界的。因为对于任意x（）都有｜cosx｜≤1成立例6．函数f(x)=x3如图,f(x)在（）内无界，但是,它在[1,2]闭区间上有界，因为任意x32xx32xx32xxarcsin2x100010xxx,,,yoxox图1-1yoxox[1,2]｜f(x)|=|x3|≤8.2.函数的单调性定义２．：设函数y=f(x)在区间I内有意义，对于区间I内任意两点x1,x2当x1x2时，函数y=f(x)满足f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在区间I内单调增加.如图所示.如果函数y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I任意两点当时，函数y=f(x)满足,则称函数f(x)在区间I内单调减少（图1-4）.例如：x在区间上单调增加在区间上单调减少.2．如函数在内都是单调增加的3．函数的奇偶性定义3设函数的定义域关于原点对称，即当时，,如果对于定义域D中的任意x,均有则称为偶函数.如果对任意的，均有则称为奇函数.既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.偶函数图形关于y轴对称，奇函数图形关于原点对称.例8、讨论下列函数的奇偶性（1）（2）（3）解：（1）因为的定义域是对于任意均有所以是奇函数.（2）因为的定义域是对于任意均有1,2xx12xx12()()fxfx2()1fxx[0,)(,0)xye(,)()yfxxDxD()()fxfx()fxxD()()fxfx()fx()sinfxxx()2xxeefx23()fxxx()sinfxxx(,)(,)x()sin()(sin)()fxxxxxfx()sinfxxx()2xxeefx(,)(,)x()()2xxeefxfxyf(x2)f(x1)0x1x2x图1-3yy=f(x)f(x1)f(x2)0x1x2x图1-4所以是偶函数.（3）因为的定义域是对于任意，而所以是非奇非偶函数.4.函数的周期性定义4设函数y=f(x),x∈D,如果存在不为零的实数T，对于每一个x∈D，都有x+T∈D,且总有f(x+T)=f(x)则称y=f(x)为周期函数，称T为f(x)的周期.若T为函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z)也是f(x)的周期.例如，函数x都是以2π为周期的周期函数；y=tanx，y=cotx，都是以π为周期的周期函数.通常我们说周期函数的周期指的是函数的最小正周期.例9．求周期解：对于因为的周期是2π，所以所以y=2x的周期为π.对于因为x的周期是2π，所以(x/3)的周期是6π.一般地y=A(ωx+φ)的周期为2π/ω.三反函数定义：设函数y=f(x)的定义域为D,值域为M。如果对于M中的每一个数y，都有惟一确定的数x∈D,使f(x)=y，这时x也是y的函数，称为y=f(x)的反函数。记为x=φ(y)。其定义域为M，值域为D.注：反函数x=φ(y)常记为y=φ(x)。函数y=f(x)与其反函数y=φ(x)的图形，关于直线y=x对称，如下左图例10设函数，求它的反函数并画出图形解从函数中直接解出得()2xxeefx23()fxxx(,)(,)x2323()()()fxxxxx23()fxxx()()fxfx()()fxfx23()fxxxsin,cosyxyxsin2,cos3xyxysin2yxsinxsin2sin(22)sin2()xxxsincos3xycos1coscos(2)cos(6)333xxxcossin23xy23xyxyy=3x+22y=31(x-2)32322xy)(xfy)(xy0xxo图1-5这就是所求得的反函数，交换变量记号，得的反函数为.函数与反函数的图形关于对称，如上右图四复合函数定义：设y是u的函数，y=f(u)，u又是x的函数u=φ(x)，而且φ(x)的值的全部或部分落在f(u)的定义域内，则称y=f[φ(x)]为x的复合函数，而u称为中间变量.若u=φ(x)的定义域为D，复合函数y=[f[φ(x)]]的定义域为D1，则D1D.例11指出下列各复合函数的复合过程；解(1)函数y=是由函数y=及u=3x-1复合而成的；（2）函数y=(㏑x)是由函数y=u及u=㏑x复合而成的；(3)函数y=3是由函数y=3u，u==及v=1-x2复合而成的.注：并不是任何两个函数都有可以复合成一个复合函数.例如,与不能复合成一个函数.五初等函数1.1.基本初等函数及其简单性质基本初等函数包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数.这些函数的简单性质和图形.(1)(1)常数函数函数y=c(c为常数)称为常数函数，常数函数的定义域为一切实数，其图形是一条平行于x轴的直线（2）幂函数函数(μ为常数)称为幂函数。例如，等等。这一类函数的定义域可以因μ的不同而不同。如y=x的定义域是（-,+）；的定义域是[0,+]的定义域是x≠0等等如图所示.(3)指数函数Y=aX(a0,a≠1,a为常数)称为指数函数，其定义域为（-∞，+∞），值域为（0，＋∞）.当a1时，函数严格单调增加;当0a1时，函数严格单调减少.函数的图形都过（0，1）点，Y=aX与Y=图形关于y轴对称.如图1-8所示，Y=eX是工程上常用的指数函数，常数e=2.7182818…)2(31yx23xy)2(31xy23xy)2(31xyxy312(1),(2)arcsin(ln),(3)3sin1xyeyxyx31xeuearcsinarcsinsin21xsinvarcsinyu22uxyx231,,,=,yxyxyxyxyxyx1yxxayy=x10xxyy=x2y=xy=x0xyy=x30x（4）对数函数指数函烽Y=ax的反函数。y=logax(a0,a≠1)称为对数函数。其定义域为（0，＋∞）,值域为（-∞，+∞）.当a1时，函数严格单调增加;当0a1时，函数严格单调减少，函数图形都过（1，0）点.以e为底的对数称为自然对数，记作㏑X（5）三角函数正弦函数：.定义域为（-∞，+∞），值域为〔-1，1〕，它是以2π为周期的有界的奇数函数如图余弦函数：y=cosX.定义域为（-∞，＋∞），值域为〔-1，1〕，它是以2π为周期的有界的偶函数如图正切函数：y=tanX.定义域为X≠Kπ＋，即（Kπ-，Kπ＋）（K=0,±1,±2…）,它是以π为周期的单调增加的奇函数（在一个周期内）sinyx222yxayxayxoxy)(axya1logx0（1，0）)(axya1log余切函数：y=cotX.定义域为X≠Kπ,即（Kπ，（K+1）π）（K=0，±1,±2…），它是以π为周期的单调减少的奇函数（在一个周期内）此外，还有正割函数y=secX=和余割函数y=cscX=，其图形和性质从略。（6）反三角函数反正弦函数：y=arcsinX,定义域为〔-1，1〕，值域为〔-，〕，有界，单调增别，奇函数，它是正弦函数y=sinX(当-≤x≤时)的反函数如图.反余弦函数：y=arccosX.定义域为〔-1，1〕，值域为〔0，π〕，有界，单调减少，它是余弦函数y=cosX(当0≤X≤π时)的反函数如图.反正切函数：y=arctanX定义域为（-∞，+∞），值域为（-≤x≤时）。有界，单调增加，奇函数，它是正切函数y=tanX(当-x时)的反函数如图.反余切函数：定义域为（-∞,+∞），值域为.有界，单调减少，它是余切函数（当时〉的反函数如图2．初等函数1cosx1sinx22222222cotyarcx(0,)cotyx0x基本初等函数经过有限次的四则运算和经过有限次复合运算并能用一个式子表示的函数称为初等函数。高等数学讨论的函数主要是初等函数.六．建立函数关系举例例14例14在半径为r的球内镶入一个内接圆柱体，试建立圆柱体体积v与其高h的函数关系解：高，圆柱体底面直径2R与球的直径构成一个直角三角形（图书1-13）。则所以所以圆柱体体积:例15例15某市场出售某款衬衣，零信价85元/件，若实20件以上可以打9折；若买100件以上可打8折，度建立此款衬衣的出售价Q与衬衣件数X的函数关系例16火车从A站出发，以的匀加速前行，经过3秒后开始匀速行驶，再经过8秒后以匀减速行驶，经过t分钟到达B站，将火车从A站到B站行驶的路程S表示成时间t的函数.解火车从A站以的匀