用傅里叶变换分析连续系统和抽样定理

14-1周期信号通过线性系统第四章连续系统频域分析对于周期信号f(t)=f(t+nT)，当其满足狄氏条件时，可展成：10)cos()(nnntnAAtftjnnneF一、基本信号：tjetf)()(ty)(*)()(tfthtytjejH)(可见，ejt通过线性系统后响应随时间变化服从ejt，H(j)相当加权函数。H(j)为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。dehtj)()(dehejtj)(2正弦量。激励与响应为同频率的二、基本信号：tAtfcos)()(tytjtjejHe)(2costjtjeeAtA])()([2)(tjtjejHejHAty)](cos[)(tjHA])()([2)()(tjjtjjeejHeejHA)()(jHjH)()(][)(2)()]([)]([tjtjeejHAty3号。激励与响应均为周期信三、任意周期信号：)(tytjtjejHe)(tAcos)](cos[)(tjHA10)cos()(nnntnAAtf])(cos[)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB其中：)(jnHABnn1)cos(nnntnA])(cos[1nnnntnB10)cos()(nnntnAAtf4四.周期信号通过线性系统响应的频谱对于周期信号)()(jHth)()(jFtf)(*)()(thtfty)()()(jHjFjYntjnneFnTtftf)()()(2)(nFjFnn)()(2)(nFjnHjYnn结论：周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号；周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。5例：图（a）所示系统，若激励如图(b)所示，求响应i(t)。(a)(b)【解】jjH11)(njntenntu)2sin(1)((n为奇数)tttttu7cos725cos523cos32cos2)(即：)69.785cos(08.0)56.713cos(21.0)45cos(2)(ttttijjH11)(4521311)3(jjH56.71101511)5(jjH69.782616响应i(t)的频谱：jjH11)(njntenntu)2sin(1)((n为奇数))()()(jUjHjI激励u(t)的频谱：nnnnjU)(2)2sin(1)(nnjnn)(211)2sin(1nnjnnn)(211)2sin(1(n为奇数))69.785cos(08.0)56.713cos(21.0)45cos(2)(ttttitttttu7cos725cos523cos32cos2)(7练习：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中(a)(b)【解】22)5(4)(nnjF2252)(nntjetftttf10cos45cos42)(tjtjeety552)(1)0(jH21)5(jH)()()(jHjFjY)5(2)(4)5(2n0)10(jHtty5cos22)(t5cos22方法1：方法2：8一、系统函数4-2非周期信号通过线性系统系统函数定义：)(tf)(tydtethjHtj)()()1)()()(jFjYjH（1）h(t)的傅立叶变换；（2）描述系统频率特性。)(*)()(thtfty)()(jFtf)()(jHth)()()(jHjFjY系统函数计算：)()()()2jFjYjHjppHjH)()()3激励相量响应相量)()4jH9)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyfdejYtytjf)(21)(练习：求系统函数H(j)。)()()(jHjFjY二、系统响应：yx(t)—系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；yf(t)—系统零状态响应，取决于系统函数和激励。)()(2tUetht21)(jjH)()1()(2tUetht211)()(jjjH三、系统频率特性：)()()(jejHjH)()()(jFjYjH:)()()(jFjYjH:)(系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统相频特性：响应与激励信号相位差10)()()(22tUetUtut解：)()()(2jHjUjU例1：求图示电路的单位阶跃响应。jjUtU1)()()((a)(b)(a)22)(jjH211)(jj(b)2)(jjjH)()()(2jHjUjU21j2]1)([jjj)()(22tUetut11例2:h(t)=(e-2t-e-3t)U(t),f(t)=e-tU(t),求系统零状态响应y(t)。解：jjjH3121)(jjF11)()()()(jFjHjYjjj32/12112/1)()2121()(32tUeeetyttt).(),(10)(titUetuts求例3:图示电路，jjH22/1)(jjUs110)(解：)()()(jUjHjIs)()55()(2tUeetittjj251512例4：图示系统，激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应y(t)。)()()(jHjFjY解：tjnnneFtf)(22T21oFnjFn2)(2)(nFjFnn)2()(2j)3(31)2(21)()()(jjjjFtjtjejejty22221)(tt2sin1113例5:图示系统，求零状态响应y(t)。已知：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)]1000()1000([)(jS)2()(SatG)(2)2(GtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)]1000()1000([*)(422G)(21)(4GjF)]1000()1000([4144GGtttty1000cossin21)(144-3信号通过线性系统不失真条件一、时域：)(tf)(ty)(*)()(thtfty)(0ttAf)()(0ttAth二、频域：0)(tjAejH0)(tjejAF0)(t)()()(jHjFjY信号失真线性失真：幅度失真、相位失真非线性失真：产生新的频率成分AjH)(全通幅频特性线性相移特性)()(ttf0)(tjAejH15例1：图示电路，，求响应y(t)。RCjjH11)(2)2)()(TjeTTSajF解：)()()(jHjFjYRCjeTTSaTj11)2)(2)()()(TtUtUtf)()1()()1()(TtUetUetyRCTtRCt)()1()()()(tUetytUtfRCt)2()(TtGtfT信号失真原因:16例2:图示系统，若要求不失真传输，（1）求R1和R2；（2）求电阻与电容参数关系.（1）（2）解：)1()()()1()(211221jRRRRjRRjHAjH)(若要求不失真传输222111222111)()2(RCjRRCjRRCjRjH若要求不失真传输，则221111RCjRCj2211RCRC121RR)()1()()1)(()()1(2121jFjRjRjRjRjY17若能无失真传输，其条件为什么？，能否无失真传输？图示电路中，CLR例3：解：)(2)1()1(22jFLjRLCRLCLjRLCRLCjH2)1()1()(2222224)1()1()(LRLCRLCjH1CLRRLCLacrtg)1(2)(2故该网络可以在一定频率范围无失真传输，其频率范围为：LC1)(11)(22jFLCLCjUoLCLjjZ2012)()()(0jUZRRjYo18cctjejH0100t一.理想低通滤波器C为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。在0～C的低频段内，传输信号无失真。（有时延）4-4理想低通滤波器滤波器：使一部分频率范围的信号通过，而另一部分信号得以抑制的系统。ccjH01分类：低通、高通、带通、带阻等滤波器。octjeG)(2)(2cG（通带）（阻带）19dejHthtj)(21)(ccdeetjtj01210021110ttjttjCCeejtt00sinttttccc0ttSacc)t(t0ttSathcc二.单位冲激响应h(t)或octjeGjH)(2)()(2tSaGccc)]([)(2occtjttSaeGoc201、h(t)与(t)比较，严重失真；2、h(t)为抽样函数，最大值为3、滤波器限制输入信号高频成分；4、t0时，h(t)0非因果系统理想低通滤波器是物理不可实现；讨论：c5、物理可实现的滤波器，其幅频特为djH21)(lnPaley-Wiener准则（佩利-维钠准则）（实际低通滤波器通过逼近实现）h(t)有效持续时间：c2（主瓣）21jj1F0)(]1)([2tjeGjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(1三.理想低通滤波器阶跃响应dejoccttj)(121210121ttSitgC正弦积分函数jjjHFYoctjeGjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)(22单位阶跃响应讨论：2．上升时间：响应由最小值到最大值所经历的时间，记作BtCr12CCfB23．阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。理想低通滤波器的单位阶跃响应为正弦积分函数4．理想低通滤波器是一个非因果系统和不可实现系统。23)()()(tUtUtf四、矩形脉冲响