计算方法复习资料

复习资料第一章主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467xxxxxxxp在2x处的值1-20-34-16-12200-6-4–10-8100-3-2-5-4-99)2(p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。解：有效数字位数分别为：3，4，53.下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x，（A）11121xyxx，（B）22(12)(1)xyxx；（2）已知1x，（A）211()yxxxxx，（B）11yxxxx；（3）已知1x，（A）22sinxyx，（B）1cos2xyx；（4）（A）980y，（B）1980y解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中2sinx使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.33个。,1428.37222722105.0005.0001.03个。5.表中各*x都是对准确值x进行四舍五入得到的近似值。试分别指出其绝对误差限、相对误差限及有效数字位数。*x绝对误差限相对误差限有效数字位数0.301230.1230.120解：*x绝对误差限相对误差限有效数字位数0.30124105.0310614位有效数字30.122105.0310614位有效数字30.1203105.0410615位有效数字参考过程：（1）msxxxx10021.作为数*x的近似值时，sxxx21不一定为x的有效数字。但是用四舍五入取准确值*x的前n位作为近似值mnxxxx10021.，则x必有n个有效数字nxxx21。因为各0.3012,30.12=0.3012210都是对准确值x进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012,30.12都有4位有效数字3012而30.120=0.30120210有5位有效数字30120。（2）根据有效数字的定义：设数*x的近似值msxxxx10.021，其中ix（si,,,21）是0到9之间的任一个正整数，且01x，n是正整数，m是整数，如果绝对误差*e的*enmxx1021*则称x为*x的具有n位有效数字的近似值，x准确到第n位，nxxx21为x的有效数字。所以，具有四位有效数字的数0.3012,30.12=0.3012210的绝对误差限分别为440*105.010213012.0x，242*105.0102112.30x。具有五位有效数字的数30.120=0.30120210的绝对误差限分别为352*105.01021120.30x。（3）根据定理：设数*x的近似值mnxxxx10021.具有n位有效数字，则x的相对误差满足下列不等式nrxe111021*所以，具有四位有效数字的数0.3012,30.12=0.3012210的相对误差限都为34111*1061103211021nrxe。而具有五位有效数字的数30.120=0.30120210的相对误差限都为45111*1061103211021nrxe6．近似值*0.231x关于真值229.0x有(2)位有效数字；7.为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。8.改变函数fxxx()1(x1)的形式，使计算结果较精确xxxf11。9.用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入10.取31732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（C）(A)28163；(B)2423()；(C)216423()；(D)41631()。第二章非线性方程的数值解主要内容：区间二分法，迭代发，牛顿迭代法。1.用二分法求方程sin10xx在0,2内的根的近似值并分析误差。解：令()sin1fxxx，则有(0)10f，(2)0.81860f，'()sincos0fxxxx，0,2x所以函数()fx在0，2上严格单调增且有唯一实根x。本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式12||kkabx，所需迭代次数k满足4110202k，即取28.13k便可，因此取14k。用二分法计算结果列表如下：kkakbkx)(kxf0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根7343751.1141967714x该问题得精确解为08711.11415714，故实际误差为0000396.02.判断用等价方程()xx建立的求解的非线性方程32()10fxxx在1.5附近的根的简单迭代法1()kkxx的收敛性，其中（A）2()11/xx；（B）32()1xx；（C）1()1xx解：取1.5附近区间1.3,1.6来考察。（A）21()1xx，显然当0x时，()x单调递减，而(1.3)1.59171596，(1.6)1.390625，因此，当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，3322'()0.9211.3xx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1211kkxx，(0,1,2,)k收敛。（B）132()(1)xx，则(1.3)1.390755416，(1.6)1.526921344，22312'()03(1)xxx(0)x，所以当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，222233221.6'()0.552133(1)(11.3)xxx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1231(1)kkxx，(0,1,2,)k收敛。（C）1()1xx，由于当1.3,1.6x时，有332211'()1.07582870612(1)2(1.61)xx，所以对任意初值1.3,1.6x（原方程的根除外），迭代格式111kkxx(0,1,2,)k发散。3.建立利用方程30xc求3(0)cc的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：23231323)(')(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx令cxxf3)(，因为当0x时，03)('2xxf，06)(''xxf，故对于任何满足0)(30cxxf，即30cx的初值0x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。4.建立利用方程20cxx求3(0)cc的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)(')(3321令2()cfxxx，因为当0x时，021)('3xcxf，06)(''4xcxf故对于任何满足0)(30cxxf，即300cx的初值0x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。5.教材39页，例2－15和例2－16.6.用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(12nab)；7.用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。8.如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。9.用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点10.已知方程3250xx在2x附近有根，下列迭代格式中在02x不收敛的是(C)(A)3125kkxx；(B)152kkxx；(C)315kkkxxx；(D)3122532kkkxxx。11.构造求解方程0210xex的根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||nnxx。答案：解：令010)1(,02)0(,210e)(effxxfx.且010e)(xxf)(，对x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx则当)1,0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx故迭代格式)e2(1011nxnx收敛。取5.00x，计算结果列表如下：n0123nx0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567nx0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足6671095000000.0||xx.所以008525090.0*x.12．用Newton迭代法求解方程0133xx在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。解：013)(3xxxf，0.20x33123313)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx8889.191732312233122320301xxx8794.1331221312xxx，8794.1331222323xxx故，方程的近似根为1.