用含时微扰方法求解态函数

微扰法求解态函数，时间演化算符及费曼图2.2.1时间演化算符时间演化算符是微扰理论中处理问题的一个重要手段，费曼图是这一方法的较为直观的表达方式，在处理多光子过程中非常简捷且行之有效。本小节将详细讨论这一方法，并利用它得到双光子吸收系数。处在电场中的原子其本征函数可由求解薛定谔方程tiH(2.2-1)或tb时刻的本征函数)(bt由时间演化算符),(abttU作用到)(at上得到)(),()(aabbtttut(2.2-2)这里),(abttu满足),(),(abbabttHutttui(2.2-3)如果H与时间无关，那么由(2.2-3)可得)](exp[)](exp[),(abmmababttimmttHittu(2.2-4)此处/mmE，m是H的本征函数，其本征能量为Em,在(2.2-4)中，我们应用了归一化条件1mmm。在微扰理论中，我们令哈密顿为)(0tVHH(2.2-5)H0与时间无关，V(t)代表原子与场相互作用的含时微扰。由公式(2.2-2)可得u是单位算符，满足1uu(2.2-6)u的另一个特性为),(),(),(cbcaabttuttuttu(2.2-7)当H(t)由(2.2-5)给出时，battabababdtttutVttuittuttu),()(),(),(),()0(0(2.2-8)其中)]tt(iHexp[)t,t(uab0ab0(2.2-9)是无微扰时的算符。由公式(2.2-8)做递推展开),()(),()(),()(),()(),(),(),(2221)0(11)0(21211)0(11)0()0(1abttttttabababttutVttutVttudtdtidtttutVttuittuttubaaba(2.2-10)abtttt21注意到u出现在(2.2-10)式的末尾，所以我们可以应用同样的程序得到:),()(),()(),()(),()(),()(),()(),(),()(),(),(),(3)0(332)0(221)0(11)0(32132)0(221)0(11)0(21211)0(11)0()0(121abttttttattttbttabababttutVttutVttutVttudtdtdtittutVttutVttudtdtidtttutVttuittuttubaaabaaba(2.2-11)将上式写成),(),(),(),(),()()2()1()0()0(abnababababttuttuttuttuttu(2.2-12)其中)(exp),(0)0(ababttHittubattababdtttutVttuittu11)0(11)0()1(),()(),(),(),()(),()(),(),(2)0(221)0(11)0(212)2(1attttbabttutVttutVttudtdtittubaa),()(),()(),()(),(),(3332)0(221)0(11)0(3113)3(12attttbttabttutVttutVttutVttudtdtdtittubaaa(2.2-13))(321nbttttt。例如，要得到)(t含微扰)(tV三阶近似解，令ttb，)()()()()(),(),(),(),()(3210)3()2()1()0(tttttttuttuttuttutaaaaa(2.2-14)仔细检查一下(2.2-13)式中的各个),()(anttu，我们不难发现，),()(anttu可以写成如下形式的通式：),(),(),()0(1)0(1)0(annnttuttuttu中间插入微扰v(t)在ntt1时刻的值，时间参量是由右向左递增的。下面以三能级原子与两个光场相互作用为例，讨论微扰方法的应用。我们设光场为..2121)(2121cceEeEtEtiti(2.2-15)相互作用哈密顿为.)c.ceE21eE21()t(E)t(Vti2ti121(2.2-16)这里，是偶极动量算符的负值。假设微扰在0t时作用于基态n上的原子，那么在t时刻原子的本征函数为)()()()()()1()0(ttttm(2.2-17)其中nttutmm),()(0)()(用(2.2-13)我们可以写出nttinttHitn)(exp)(exp)(000)0(ndtttitVttimmindtttHitVttHiitnmmtttt101111010110)1()(exp)()(exp)(exp)()(exp)(00(2.2-18)由(2.2-16)式，)(1tV是四项之和，被积函数包括四项，我们以其中的一项，)exp(11tiE为例mdttititiEitnmmnmttmn101111)1()exp()exp()(exp)(2)(01(2.2-19)1是沿1E的投影，mn/)(nmEE，完成上述积分可得meetiEitmntitimmmnmnmn1)()(11)1(0111)exp()(2)(其中的)exp(0tin被忽略了，因为在计算可观测量的物理量时，它都将与自己的复共扼相乘。在0t时，01)(exptimn为零。考虑到自然线宽，将分母中的m以im代替，有mitiEitmnnmmn1111)1()(exp)(2)(1应用同样的方法，我们可以计算出)exp(11tiE，)exp(22tiE及)exp(22tiE等项对)()1(t的贡献，最后可得：imtiEimtiEimtiEimtiEitttttmnnmnmnnmnmnnmnmmnnmn2222222211111111)1()1()1()1()1()(exp)()(exp)()(exp)()(exp)(2)()()()()(2211(2.2-20)用(2.2-13)我们写出波函数的二阶项)()2(t:210222111202022101102120)2()2()(exp)()(exp)()(exp)(exp)()(exp)()(exp),()(0210010dtdtnttitVmmttitVssttiinttHitVttHitVttHidtdtinttutnmmstttttstttt(2.2-21)由于)(tV在(2.2-21)中出现两次且包含四项，所以积分结果将是16项之和，我们以包含)exp(2111tiE和)exp(1222tiE项为例，计算出：s)i)(i(t)(iexp)()(4EEi)t(21sn2mn21nsm1mn2212ms)2(,21(2.2-22)2.2.2费曼图应用费曼图可以简捷地写出公式(2.2-22),如图(2-1),时间由下至上递增，每个实线代表原子的一个本征态。原子在at时刻处于初态n，在2t时刻吸收一个频率为2的光子而到达态m，这一过程可由(2.2-22)中)i/(eE)(2mnti2mn22表示。下一步跃迁发生在1t时刻，原子由m态跃迁至s态，与此同时吸收一个频率为1的光子。频率前面的负号代表吸收一个光子，在费曼图tSt112mt2nta(a)12tSt1mt2nta(b)tSt1123mt2nktat3(c)上用一个终止于节点处的箭头来表示，频率前面为正号时，代表发射一个光子，在费曼图上表示为一个开始图2-1费曼图于节点的箭头。例如图(2.1-b)表示了一个原子从n态跃迁到s态，在2t时刻吸收一个频率为2的光子，在1t时刻发射一个频率为1的光子的情形。此过程对)()2(t的贡献可表示为s)i)(i(t)(iexp)()(4EEi)t(21sn2mn21nsm1mn2212ms)2(21(2.2-23)我们注意到，每次吸收或发射光子，即费曼图中的每个顶点，都可以体现为分母上的一个因子。其余14项2,1,,)2(,jiji可以通过各微扰项的各种组合来得到。例如，)2(,21对应在2t时刻发射一个1光子，在1t时刻吸收一个2光子。21tt，因此，)2(,ij不等于)2(,ji。用费曼图，我们可以写出到微扰的任意阶的波函数。例如，考虑这样一个过程：原子从态n跃迁到态s，吸收一个频率为3的光子，再吸收一个频率为2的光子，发射一个频率为1的光子。如图(2-1c)，于是我们得到mks123sn23kn3mn123nsk1km2mn33123)3(,,s))()((t)(iexp)()()(8EEE123)3(,,kji总共有216项()63。用费曼图来表示的最大好处是我们可以在给定的条件下，简单地写出我们感兴趣的项。用含时微扰方法求解态函数处在电场中的原子其本征函数可由求解薛定谔方程tiH（2-35）得到。或者由bt时刻的本征函数)(bt由时间演化算符),(abttU作用到)(at上得到)(),()(aabbtttut（2-36）这里),(abttu满足),(),(abbabttHutttui（2-37）如果哈密顿与时间无关，那么由（2-37）可得)](exp[)](exp[),(abmmababttimmttHittu（2-38）此处/mmE，m是H的本征函数，其本征能量为Em，在式（2-38）中，我们应用了归一化条件1mmm。在微扰理论中，我们令哈密顿为)(0tVHH（2-39）0H与时间无关，tV代表原子与场相互作用的含时微扰。由公式（2-36）可知u是单位算符，满足1uu（2-40）u的另一个特性为),(),(),(cbcaabttuttuttu（2-41）当tH由（2-39）给出时，battabababdtttutVttuittuttu),()(),(),(),()0(0（2-42）其中)]tt(iHexp[)t,t(uabab00（2-43）是无微扰时的算符。由公式（2-42）做递推展开),()(),()(),()(),()(),(),(),(2221)0(11)0(21211)0(11)0()0(1abttttttabababttutVttutVttudtdtidtttutVttuittuttubaaba（2-44）其中abtttt21注意到u出现在（2-44）式的末尾，所以我们可以应用同样的程序得到：),()(),()(),()(),()(),()(),()(),(),()(),(),(),(3)0(332)0(221)0(11)0(32132)0(221)0(11)0(21211)0(11)0()0(121abttttttattttbttababab