用复数证明代数问题

毕业论文题目：用复数证明代数问题学号：24111101025姓名：教学院：专业班级：指导教师：完成时间：2015年5月1日教务处制贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）任务书课题名称用复数证明代数问题学生姓名学号教学院理学院专业、班级数学与应用数学2011级本科1班课题简介：（选题的目的、意义、价值、工作思路、研究方案、研究方法、技术路线、创新点）代数是研究数、数量关系与结构的数学分支，代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。但是代数问题的证明一直以来都是一大难点。不仅是因为代数问题的复杂计算过程，而且证明的方法种类繁多，若不掌握合适的方法，证明代数问题将寸步难行。而用复数证明代数问题就是其中一种非常重要的方法。利用复数以及共轭复数的一些重要性质，证明许多代数问题将变得十分简单。从目前查阅的文献资料来看，这方面的研究还十分粗糙，仍有很大的完善空间。在这个背景下，我选择了用复数证明代数问题这个课题来进行研究。在这里我将利用复数的相关知识来证明一些常见的的代数问题。课题内容和任务：本课题的内容是如何用复数证明代数问题？主要包括复数的概念和性质，常见的代数方面的问题以及用复数解决这些问题的方法。其任务就是找寻用复数证明某些代数问题的方法。进度计划：2014年9月1日—2014年9月5日：搜集资料，前期准备。2014年9月6日—2014年9月26日：文献调研，撰写开题报告，开题答辩。2014年9月27日—2014年11月7日：毕业论文框架设计。2014年11月7日—2015年1月10日：完成初稿，修改初稿。2015年1月10日—2015年3月20日：完成二稿，修改二稿。2015年3月20日—2015年5月10日：完成三稿，定稿，并准备答辩。发出日期课题计划完成日期指导教师签名教学院院长签章注：本表一式一份，用于装订完整文本。贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计)《》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。论文(设计)作者：（签字）时间：年月日指导教师：（签字）时间：年月日贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计)《》是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在指导教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院”，成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。论文(设计)作者：（签字）时间：年月日指导教师：（签字）时间：年月日目录摘要:............................................................................................................................iAbstract:....................................................................................................................ii引言............................................................................................错误!未定义书签。1.复数.......................................................................................错误!未定义书签。1.1复数的定义......................................................................................错误!未定义书签。1.2复数的性质......................................................................................错误!未定义书签。2.复数在代数中的应用...........................................................错误!未定义书签。2.1证明不等式.....................................................................................错误!未定义书签。2.2证明三角函数..................................................................................错误!未定义书签。2.3证明三角恒等式..............................................................................错误!未定义书签。2.4证明余弦定理..................................................................................错误!未定义书签。2.5两个基本定理的证明......................................................................错误!未定义书签。3.总结.........................................................................................错误!未定义书签。参考文献....................................................................................错误!未定义书签。致谢............................................................................................错误!未定义书签。附录............................................................................................错误!未定义书签。用复数证明代数问题摘要：复数是数学中的一个重要的研究对象，同时它也是一个解决其他数学问题的重要工具。复数本身具有许多性质，本文主要讨论如何利用复数的相关知识去证明一些常见的代数问题。其中包括证明不等式，三角恒等式和余弦函数等。关键词：不等式；三角恒等式；余弦函数；Abstract:Thecomplexisanimportantobjectofstudyinmathematics,anditisalsoanimportanttooltosolveothermathematicalproblems.Thecomplexitselfhasmanyproperties,thispapermainlydiscusseshowtousetherelevantknowledgeofcomplextoprovesomecommonalgebraproblem.Includingthatinequality,trigonometricidentitiesandcosinefunctionKeywords:inequality;trigonometricidentities;cosine;引言十六世纪，为了解代数方程，数学家们引入了复数。例如，在解2x+1=0时，就会遇到－1开平方的问题，在实数范围内这个方程是无解的。为了解决这类问题就必须扩大数的范围，于是有了虚数的概念。在很长一段时间里，复数并不被人们所接受。直到十八世纪中叶，关于虚数的理论都难以得到很好的发展。1747年法国数学家达兰贝尔在复数的研究中作出了很大的贡献。他认为如果对虚数进行类似于多项式的四则运算，那么最终结果都是a+b1的形式，这其实已经提出了复数的概念。经过漫长的发展，到十九世纪，德国数学家高斯正式提出了“复数”这个概念，发展到二十世纪，复数已经渗入了各数学分支，成为了数学中一个及其重要的研究对象和解决数学问题的重要工具。本文在介绍复数的基本的一些概念和性质后，着重介绍如何用复数证明一些代数中常见的问题。向读者展示复数在证明代数问题里重要性。1复数1.1复数的定义定义1为了解决负数可以开平方的问题，特意在实数之外引入一个平方之后等于－1的新数，记作i，并将有关它的运算规定如下：（1）i×i=－１，,i0=1;（2）对于实数b,b×i=i×b=bi;（3）对于数0,0×i=i×0=0；（4）对于实数a、b，a与bi的和为a+bi。适合上述规定（1）–（4）的数i称为虚数单位。定义2设x与y为实数，形如x+iy的数称为复数，常记作z=x+iy.定义3x称为复数z=x+iy的实部，y称为虚部，分别记作x=Re(z)，y=Im(z)。定义4设1z=1x+1iy，2z=2x+2iy，1z=2z是指1x=2x，1y=2y.即两复数相等当且仅当他们的实部和需补分别相等。定义5将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.即z=x+iy，则∣z∣=22yx.定义6设1z=1x+1iy，2z=2x+2iy，当1x=2x及1y=－2y时，称1z与2z互为共轭复数，记作1z＝2z.1.2复数的性质定义7（加减法法则）1z+2z=（1x+1iy）+（2x+2iy）=（1x+2x）+i(1y＋2y）1z－2z=（1x＋1iy）－（2x+2iy）=（1x－2x）+i(1y－2y）定义8（乘法法则）1z.2z=（1x+1iy）.（2x+2iy）=1x2x+i1y2x+1x.2iy+1iy.2iy=(1x2x－1y2y)＋i（1y2x+1x2y）2复数在代数中的应用2.1证明不等式不等式的证明一直是数学中一个极其重要的版块，许多不等式如果利用常规的思路去证明的话，不仅繁琐，而且极难找到证明的思路，但是如果利用复数的相关知识去证明，则会显得直观和新颖的多。例1求证：22ab+22(1)ab+22(1)ab+22(1)(1)ab22.分析：本题初看不知道从何处下手，但是通过观察左边的几个二次根式不难将他们和复数的模联系起来，考虑到几个复数的模的和有许多性质可用，不妨试着用复数的相关知识来证明此题。证明：设1zabi,2(1)zabi,3(1)zabi,4(1)(1)(,)zabiabR22ab+22(1)ab+22(1)ab22(1)(1)ab=|1z|+|2z|+|3z|+|4z||1z+2z+3z+4z|=|abi+(1)abi+(1)abi+(1)(1)abi|=|2+2i|=22所以原不等式成立。例2如果实数x