第一章实数集与函数

第二章函数1函数概念1．证明下列不等式：(1)xyxy；(2)1212nnxxxxxx；(3)1212(||||||nnxxxxxxxx）.2．求证||||||1||1||1||abababab.3．求证||max(,)22ababab；||min(,)22ababab.4．已知三角形的两条边分别为a和b，它们之间的夹角为，试求此三角形的面()s，并求其定义域.5．在半径为r的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.6．某公共汽车路线全长为20km，票价规定如下：乘坐5km以下（包括5km）者收费1元；超过5km但在15km以下（包括15km）者收费2元；其余收费2元5角.试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.7．一脉冲发生器产生一个三角波.若记它随时间t的变化规律为()ft，且三个角分别有对应关系(0)0f，(10)20f，(20)0f，求()20ftt，并作出函数的图形.8．判别下列函数的奇偶性：(1)42()12xfxx；(2)()sinfxxx；(3)22()xfxxe；(4)2()lg(1)fxxx.9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：(1)2()cosfxx；(2)()cossin23xxfx；(3)()cosfxx；(4)()tanfxx.10．证明2()1xfxx在(,)有界.11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21()fxx在(0,1)无界.12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.13．设()fx为定义在(,)内的任何函数，证明()fx可分解成奇函数和偶函数之和.14．用肯定语气叙述：在(,)上(1)()fx不是奇函数；(2)()fx不是单调上升函数；(3)()fx无零点；(4)()fx无上界.2复合函数与反函数1．设()1xfxx，求证(())ffxx.2．求下列函数的反函数及其定义域：(1)112yxxx；(2)12xxyeex；(3)2,1,,4,2,4.xxxyxxx3．设()fx，()gx为实轴上单调函数，求证(())fgx也是实轴上的单调函数.4．设2,0,1,0,()(),0.,0.xxxxfxgxxxxx求复合函数(())fgx，()gfx.5．设2()xfxx，求nfffx次.6．设()|1|||fxxx＝，试求nfffx次.7．设1()fxx，求(())ffx，((()))fffx，1()()ffx.§3初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1)||yx；(2)[]yxx；(3)tan||yx；(4)(2)yxx；(5)2sinyx；(6)sincosyxx.2．若已知函数()yfx的图形，作函数1()yfx，2()yfx，3()yfx的图形，并说明123yyy的图形与y的图形的关系.3．若已知函数(),()fxgx的图形，试作函数[()()()()yfxgxfxgx的图形，并说明y的图形与()fx、()gx图形的关系.4．作出下列函数的图形：(1)sinyxx；(2)1sinyx.5．符号函数0,0,0,1,0,xysgnxxx试分别作出sgnx，sgn)x，sgn(2)x的图形.6．作出下列函数的图形：(1)cosysgnx；(2)]22xyx.