第一章投影

第一章生物医学信号的统计特性第一节生物医学信号的特点1一般不可能准确预测，不能用数学函数来准确表达，它们的规律主要从大量的统计结果中反映出来，严格说生物信号是随机信号。2心电信号、肌电信号、血压、体温等，超声信号、同位素信号、X射线信号等。这些信号的幅度小，容易受干扰。3背景噪声大，电生理信号中经常混杂着肌电干扰，诱发脑电中经常伴随着较强的自发脑电以及仪器噪声等4生物医学信号处理的重要课题从噪声中提取有用信号第二节随机变量的统计特性一、概率A表示随机变量，如果进行了N次试验，事件Ai出现了ni次，于是事件Ai出现的相对频率为fI，fI=Nni事件AI的概率P(Ai)。P(Ai)=P(A=Ai)=NlimNni不难看出，它具有性质1≥P(Ai)≥0如果Ai与Aj表示为不相容事件，那么，AI或Aj出现的概率：P(AiORAj)=P(Ai)+P(Aj)P(A1ORA2ORA3……ORAM)二、联合概率与条件概率二元随机变量X(A和B)，联合事件(A=a，B=b)的概率为：P(X)=)(limlimNnnnNnaaabNabN无条件概率P(A=a)=NnlimaN条件概率P(B=b/A=a)=aabNnnlim三、统计独立事件两个随机事件统计独立P=(B=b/A=a)=P(B=b)几个统计独立事件P(A1=a1……,An=an)=P(A1=a1)P(A2=a2)……P(An=an)四、连续随机变量和概率分布函数连续随机变量X取实轴X上的全部数值，即-∞≤x≤∞。概率分布函数F(x)=P(X≤x)概率分布函数的性质为：F(-∞)=P(X≤-∞)=0F(+∞)=P(X≤∞)=1随机变量X落入区间[x1，x2]的概率为：P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)二元随机变量的概率分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)F(x,y)具有下述性质：F(x,∞)=P(X≤x,Y≤∞)=P(X≤x)=F(x)F(∞,y)=P(X≤∞,Y≤y)=P(Y≤y)=F(y)F(-∞,y)=F(x,-∞)=0F(∞,∞)=P(x≤∞,Y≤∞)=1五、概率密度函数连续随机变量X落在区间[x，x+△x]的概率为P(X≤x+△x)-P(X≤x)连续随机变量X的概率密度函数：f(x)=x)xX(P)xxX(Plimx0=)x(Fdxd概率密度函数的性质F(x)=du)u(fxdu)u(f=1P(x1＜X≤x2)=du)u(fxx12P(X=x0)=000dt)t(fxx二元随机变量的概率密度函数：f(x,y)=yx2F(x,y)=yx2P(X≤x，Y≤y)F(x,y)=yxdud),u(f二元随机变量(X,Y)的条件分布函数F(y/x)=P(Y≤y/X=x)=)x(f),x(fy条件密度函数f(y/x)=dydF(y/x)F(y/x)=yd)x/(f条件密度函数的性质：f(y/x)≤1P(y1≤y≤y2/x)=21yyd)x/(f1dy)x/y(fF(y/x)=)x(f)y,x(fX，Y落在x，y平面上某个区域R内的概率P(X和Y落在区域R内)=dxdyyxf),(六、数字特征离散随机变量X的均值或数学期望：E{X}=iii)x(Px连续型随机变量的数学期望E{X}：mx=E{X}=)(xxfdx连续型随机变量的方差2x=E{(X-mx)2}=(x-mx)2f(x)dx方差的平方根被称为标准差R二元随机变X，Y的协方差。C11=E{(X-mx)(Y-my)}七、相关系数相关系数p描述两个随机变量X，Y之间依赖关系相关系数具有性质-1≤p≤1p0，X，Y是正相关；p0，是负相关；p=0则它们是不相关。当X，Y不相关时，存在下述关系：E{XY}=E{X}•E{Y}八、正态分布一元正态分布随机变量X的概率密度函数为：f(x)=})mxx}(exp{xx222121均值为：E{X}=xmdx)x(xf方差为：Var{X}=xxdx)x(f)mx(22二元正态随机变量X，Y的联合分布密度函数212222122121pyyyxyxxyx)my()my)(mx(p)mxx(expp)y,x(f九、多元正态随机变量随机向量x=[X1,X2，……,Xn]T多维随机向量的均值向量Tx}]Xn{E,},X{E},X{E[}X{Em21=[m1,m2……,mn]T它的协方差矩阵定义为：Cx=E{(xmX)(xmX)T}=nnnnnnCCCCCCCCC212222111211Xi与Xj的协方差Cij=E{(Xi-mi)(Xj-mj)}第三节随机信号的统计特性一个随机信号（随机过程）--------与时间t有关的随机变量一、随机信号的概率描述随机变量X(t)的分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x}概率密度函数f(x;t)=)t;x(Fdxd两个时刻t1,t2对应的随机变量的联合分布函数F(x1,x2;t1,t2)△P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}概率密度函数f(x1,x2,t1,t2)=21xxF(x1,x2,t1,t2)随机变量x(t1),x(t2)……x(tn)的联合分布F(x1,x2……,tn)=P{x(t1)≤x1,x(t2)≤x2……x(tn)≤xn}概率密度函数f(x1,x2,……xn;t1,t2……tn)=nlixxxF(x1,x2,……xn;t1,t2……tn)随机过程x(t)的n维分布构成的总体称为随机过程的有穷维分布族，它完整地表达整个随机过程的统计特性。二、随机信号的统计特征随机变量x(t)的数学期望mx(t)=E{x(t)}=dx)t;x(xf方差函数x(t)=E{[x(t)-mx(t)]2}=dx)t;x(f)]t(mx[x2定义信号的自协方差函数为：Cx(t1,t2)=E{[x(t1-mx(t1)][x(t2)-mx(t2)]}=2121212211xxxxdd)t,t;x,x(f)mx)(mx(定义信号的自相关函数为：Rx(t1,t2)=E{x(t1)x(t2)}=21212121xxd,d)t,t;x,x(fxx三、总体自相关与时间自相关总体自相关函数Rx(t1,t2)=NiiiN)t(x)t(xNlim1211时间自相关函数Rx()=dttxtxTTTT)()(21lim[例1-3]求随机振幅正弦波x(t)=Asin(0t+)的自相关函数。式中A是零均值的、方差2的正态随机变量；0t和是一已知常数。设信号某一样本xi(t)=aisin(0t+)为一周期函数，其周期为T0=20。式中aI为随机变量A的样本值。时间自相关函数为：Rx()=dttataTiTTi])(sin[]sin[10220000=dttTaTTi2/2/000000)]22cos([cos2=02cos2ia总体自相关函数为：Rx(t1,t2)=E{x(t1)x(t2)}=E{A2}sin0t1sinot2=2sin0t1sinot2四、随机信号的平稳性和遍历性随机信号x(t)时间平稳性：F(x1,x2……,xn;t1+h,t2+h,……tn+h)=F(x1,x2……,xn;t1,t2,……tn)宽平稳条件信号x(t)的均值函数m(t)不随时间变化mx(t)=E{x(t)}=常数相关函数只是时间差的函数Rx(t1,t2)=Rx(t2,t1)=Rx()或Cx(t1,t2)=Cx(t2,t1)=Cx()遍历性是信号的集体平均统计特性与时间平均统计特性相同E{x(t)}=TTTdt)t(xTlim21(1-3-23)E{x(t)x(t+)}=TTTdt)t(x)t(xTlim21=R()(1-2-24)遍历信号必定是平稳信号。在均方意义下的，(1-3-23)式又可改写为：0212TTxT]dt)m)t(x(T)}t(x{E[lim从上式可证明：0)(21limTTTdcT(1-3-25)积分表明信号在任意时刻t的取值x(t)受到的来自区间[t-T,t+T]内各点的综合影响为零。(1-3-23)式、(1-3-24)式和(1-3-25)式表示了信号具有遍历性的条件。五、随机信号的矢量表示x(t)随机矢量表示为：x=[x(t1),x(t2)……,x(tn)]T(1-3-26)随机矢量的各个元素均为随机变量随机矢量的匀值矢量为：}x{Em=[E{x(t1)},E{(x(t2)}，……,E{x(tN)}]T=[mx(t1),mx(t2),……mx(tN),]T(1-3-27)信号x(t)的自相关函数矩阵定义为随机矢量的外积的数学期望：)({),({)()({)()({)}({)()({)}()({)}()({)}({)]}(,),()(}[)()()({}{221222212121122121NNNNNNTtxEttxEtxtxEtxtxEtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxEtxtxtxtxtxtxExxERx信号x(t)的协方差矩阵Cx定义为：Cx=})mx)(mx{(ETxx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(CxNNNNNN212221212111对于平稳过程，自相关矩和协方差阵又可分别写成：)(Rx)Ts)N((Rx)Ts)N((RxTs)N(Rx)(Rx)Ts(Rx)Ts)N((Rx)Ts(Rx)(RxRx0212010Cx=)Ts(Cx)Ts)N((Cx)Ts)N((Cx)Ts)N((Cx)Ts(Cx)Tx(Cx)Ts)N((Cx)Ts(Cx)Tx(Cx021201100Rx矩阵的各元素分别为自相关函数Rx()和协方差函数Cx()的采样值。若信号是高斯的，随机信号的n维联合分布很容易用上述矢量和矩阵表示成：)}mx(Cx)mx(exp{Cx)()x(fxTx/n1212121[例1-5]设零均值高斯随机信号x(t)具有自相关函数2100e)(Rx要求写出在t1=0秒，t2=0.5秒，t3=2.0秒采样值和三维随机向量的联合分布密度函数。该过程是零均值的，其自相关函数为时间差的函数，因而过程是平稳的。又由于过程均值为零，所以2100e)(Rx)(Cx而三维向量为：).(x).(x)(xx02500于是随机变量的协方差矩阵为：)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(Cx)t,t(CxCx332313322212131211)(Cx).(Cx)(Cx).(Cx)(Cx)(Cx)(Cx).(Cx)(CxCx0512510052500100100100100100100100100100343141eeeeee三维向量的分布函数为：}xCxxexp{Cx)()x(fT//121212121六、平稳随机信号自相关函数的性质平稳随机信号x(t)的自相关函数具有以下主要性质：(1)Rx(0)是过程的均方值，对于所有的，均有：)(Rx)(Rx0(2)Rx()是偶函数，即Rx(-)=Rx()(3)如果x(t)