第一章方程组的解法

1第一章方程组的解法第一节二元一次方程组的解法一、二元一次方程组（一）二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：①等号两边的代数式是整式；②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.想一想：下列各方程中，哪个是二元一次方程？（1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x2－y＝9；（4）1x－y＝2.（二）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.例如，x＝2,y＝3适合方程x－y＝－1，显然，满足x－y＝－1的x,y的值有很多对，如x＝3，y＝4；x＝5，y＝6；均满足方程，因此二元一次方程x－y＝－1的解有无穷多个，它们可分别记作，可以看作是二元一次方程x－y＝－1的一个解。对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是2指单独的一个未知数的值；②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.（三）二元一次方程组由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.例如：这三个方程组都是二元一次方程组，其中（3）虽然是由三个方程组成的，其中有一个方程只含有一个未知数，但根据二元一次方程组的概念，它仍是二元一次方程组。（四）二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.二、二元一次方程组的解法3二元一次方程组的解法体现消元的数学思想，把二元转化为一元。（一）代入消元法1、概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.2、代入法解二元一次方程组的步骤（1）选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；（2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.）；（3）解这个一元一次方程，求出未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入（1）中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；（5）用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；（6）最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）例1用代入法解方程组分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便。解：由①，得x＝y＋3。③把③代入②，得([5]把③代入①可以吗?试试看。)3(y十3)一8y=14。4解这个方程，得y＝一1。把y=－l代入③，得([6]把y＝－1代入①或②可以吗?)x＝2所以这个方程组的解是[5]由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，而不能代入①。你可以试试把③代入①会出现什么结果。[6]得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值。其中代入方程③最简捷。你可以试试各种代入法。练习：用代入法解方程组：24352yxyx（二）加减消元法1、概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.用代入法解二元一次方程组的主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数代入——消去一个元求解——分别求出两个未知数的值写解——写出方程组的解52、加减法解二元一次方程组的步骤（1）利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；（2）再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；（3）解这个一元一次方程，求出未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；（6）最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.例2解方程组2x+5y=13①3x-5y=7②提示：①式中的5y和②式中的-5y是互为相反数的分析：（2x＋5y）+（3x-5y）=13+7①左边+②左边=①左边+②左边2x+5y+3x-5y=205x+0y=205x=20解：由①+②得:5x=206x＝4把x＝4代入①，得y＝1所以原方程组的解是x=4y=1例3解方程组x-5y=7①x+3y=-1②分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是1．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．解：把②－①得:8y＝－8y＝－1把y＝－1代入①，得2x－5×（－1）＝7解得:x＝1所以原方程组的解是x=1y=-1当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等（绝对值相等）时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。7例4解方程组2x+3y=1①5x-4y=6②解：①×5得：10x+15y=5③②×2得：10x–8y=12④③–④得：23y=–7把代入①得，所以原方程组的解是当方程组中两方程的同一未知数的系数绝对值不相等时，也可以在方程两边同乘一个数，从而把某未知数系数化相同。本例未知数的系数没有倍数关系，先将两个方程同时变形，同时选择系数比较小的未知数消元。237y237y2322x2372322yx用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤：变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数加减——消去一个元求解——分别求出两个未知数的值写解——写出方程组的解8练习：1、用加减消元法解方程组4x＋3y＝9①6x－4y＝5②2、用适当的方法解下列方程组：（1）3x＋5y＝82x－y＝1（2）3x＋4y＝185x＋8y＝34第二节三元一次方程组的解法一、三元一次方程组（一）三元一次方程三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程.（二）三元一次方程组一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如，等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：二、三元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.9例1解方程组法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．解：由（2），得x=y+1．（4）将（4）分别代入（1）、（3）得解这个方程组，得把y=9代入（4），得x=10．因此，方程组的解是法二：加减法解：（3）-（1），得x-2y=-8（4）由（2），（4）组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入（1）中，得z=7．因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的10系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由（1）＋（2）-（3），得y=9．把y=9代入（2），得x=10．把x=10，y=9代入（1），得z=7．因此，方程组的解是注意：（1）解答完本题后，不要忘记检验，但检验过程一般不写出.（2）从上述问题的一题多解，体会到灵活运用代入法或加减法消元，将有助于迅速准确解决问题.例2解方程组分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组．解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29，（4）把方程（1），（4）组成方程组解这个方程组，得，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=11因此，方程组的解是例3.解方程组分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.解：（1）＋（3），得5x+5y=25．（4）（2）＋（3）×2，得5x+7y=31．（5）由（4）与（5）组成方程组解这个方程组，得把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13，所以z=1．因此，方程组的解是例4.解方程组分析：题目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法12解：由（2）得x=y(4)由（3）得z=(5)将（4），（5）代入（1），得+y+y=111所以y=45．把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36．因此，方程组的解是法二：技巧法分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值．解：由（2），得x∶y=2∶3，即x∶y=10∶15．由（3），得y∶z=5∶4，即y∶z=15∶12．所以x∶y∶z=10∶15∶12．设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111，所以k=3．故x=30，y=45，z=36．13因此，方程组的解是例5.解方程组分析：1)观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？2)为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未知数z易消.3)怎样在(1)和(2)中消去z?4)解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？5)怎样去求z的值？能不能把x=5,y=0代入(3)中去求z？解：(1)+(3)×4得17x+5y=85…(4)(3)×3-(2)得7x-y=35…(5)(4)、(5)组成方程组解得把x=5,y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-3,所以总结：解三元一次方程组的一般步骤：1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个14未知数的二元一次方程组；2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可.练习：1．解方程组2．解方程组3．已知方程组的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.