第一章概率论的基本概念

长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第1页共12页1第一章概率论的基本概念§1随机事件、样本空间1、随机试验在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象.概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.对随机现象进行的观察或实验称为随机试验.若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行.（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果.（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果.则把这一试验称为随机试验，常用E表示.例1从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：W={0，1，2，3，4，5，6，7，8}引入下列随机事件:A={正品件数不超过3}={0，1，2，3};B={取到2件至3件正品}={2，3};C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5};D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5};E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8};F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}.▲2、随机事件与样本空间随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果,通常用大写字母A、B,…表示。随机事件分为基本事件与复合随机事件,基本事件（或称为样本点,本书中用表示）是指随机试验中最简单的随机事件(或称最简单的结果);复合随机事件是指由若干个基本事件构成随机事件.样本空间：随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为Ω=.为方便讨论我们也将下列两个事件称为随机事件：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件S.每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件Φ.基本事件是样本空间的单点集.必然事件包含一切样本点，它就是样本空间Ω.不可能事件不含任何样本点，它就是空集Φ.长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第2页共12页23、事件间的关系及其运算01AB表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.若A⊂B且B⊃A,即A=B,称事件A与事件B相等A对于任意事件A,都有.02AB表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件.n个事件12,,,nAAA的和记为12nAAA，也可简记为1nniA.在可列无穷的场合，用1niA表示事件“12,,,,nAAA诸事件至少有一个发生.”03AB表示事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的积（交）事件，或记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合.n个事件12,,,nAAA的积记为12nAAA，也可简记为1niiA.在可列无穷的场合，用1iiA表示事件“12,,,,nAAA诸事件同时发生.”04AB表示事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件.显然有,ABABAABAA.对于任意两事件A，B总有如下分解：,()()AABABABABABAB05AB表示事件A与B不可能同时发生,称A和B是互不相容的或互斥的.基本事件是两两互不相容的.60ABAB且表示事件A与B在随机试验中一定会发生一个也可能发生一个,称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件.事件A的逆事件记为A,表示“A不发生”这一事件.显然有,,,,AAAAAA.事件的运算律（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA;长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第3页共12页3（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）;（A∩B）∩C=A∩（B∩C）;（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）;A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）.（4）德·摩根律（DeMorgan）：（5）ABABABAB例2:设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生.解：(1)();ABC(2);ABCABC或(3);ABCABCABC(4);ABCABCABCABCABACBC或(5);ABCABC或(6),.ABACBCABCABCABCABC或#§2概率、古典概率1、概率定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值kn称为事件A的频率，记为()nfA频率具有下列性质：(1)对于任一事件A，有0()1nfA;(2)对必然事件,()1nf有;nnn(3)f(A∪B)=f(A)+f(B).若事件A,B互不相容,则长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第4页共12页4mmninit=1t=1m21f(A)=f(A).一般，若A,A,,A互不相容,则历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率()nfA稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为()PAp.2、概率的公理化定义设为样本空间,A为事件对于每一个事件A赋予一个实数P(A),且满足以下公理：(1)非负性：()0PA;(2)规范性：()1P;(3)可列可加性：对于两两互不相容的多个事件有11()()nnkkkkPAPA,则称实数P(A)为事件A的概率.3、概率的性质：性质1：()0P.性质2：对于两两互不相容的多个事件有11()()nnkkkkPAPA.性质3：设是两个事件A,B,若AB,则有()()()PBAPBPA(可减性),从而有()()PAPB.性质4：对任事件A,有()1.PA性质5：对任事件A,有()1()PAPA.性质6：对任事两个事件A,B,有()()()()PABPAPBPAB.4、古典概型定义4：设随机试验E满足如下条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即12{,,}n;(2)每个样本点的发生是等可能的，即12({})({})({})nPPP;则称试验为古典概型，也称为等可能概型。例3从0,1,2,…,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率：(1)1A｛4数字排成一个偶数｝；(2)2A｛4数字排成一个四位数｝;长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第5页共12页5(3)3A｛4数字中0恰好出现两次｝.解：3这有5种可能:0,2,4,6,8,而前三位数字是任意的,有10种取法.131329152234于是A中含有C10个样本点.类似地可知A中样本点的个数为C10,A中样本点的个数为C9,从而13514139242243410()0.5,1010()0.9,109()0.0486.10CPACPACPA#(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?25252525解：设A={出现双6},B={不出现双6},一对骰子掷1次,有66=36种结果.掷25次共有36种结果,掷一次出现双6只有1种结果,不出现双6共有35种结果,掷25次不出现双6共有35种结果,而至少有一次出现双6有36-35种结果.因此252525252535()0.4945,363635()1()0.5055,36PBPAPB所以出现双6的概率大.▲5、几何概型(1)样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以计量(如长度,面积、体积等)，并把Ω的计量记作m(Ω)..(2)向区域Ω内任意投掷一个点，落在区域内任一点处都是“等可能的”设A表示“掷点落在A内”的事件，那么事件A的概率为()(),()mAPAm也称的事件A几何概率.长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第6页共12页6例4：(约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定点是可能的)解：设甲乙两人在时间T内到达预定点的时刻分别为x和y,则它们可以取[0,T]内的任一值,即0≤x≤T,0≤y≤T,而两人会面的充要条件是x-y≤t.每一个x和每一个y便构成平面上的一个点(x,y),它就是一个基本结果,因此样本空间为Ω={(x,y)0≤x≤T,0≤y≤T}{(,),0,0,0}AxyxyttxTyT设A={甲,乙两人能会面},则例6平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上任意投一长为l(la)的针,试求针与平行线相交的概率.解：以M表示落下后针的中点,x表示M与最近一平行线的距离,j表示针与此线的夹角.0,02ax.决定了xoj平面上一矩形区域Ω就是样本空间针与平行线相交的充要条件为将针与平行线相交这一事件记为A(,)sin,(,)2lAxxx0()2()sin.()22LAlalPAdLa#于是§3条件概率、全概率公式1、条件概率的定义：.P(AB)设A,B为两个事件，且P(B)0,则称为事件B发生条件下事件AP(B)发生的条件概率，记为()().()PABPABPB2222()()1(1).()TTtLAtPALTT#yyxtTyxtT0x长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第7页共12页7000111()02()13()(),.iiiiPABPBPABPAB；；n21P(AB)符合概率定义的三公理，即：其中A，A，，A，为两两互不相容事件例1：某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再取到次品的概率是多少?解：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品},需求P(B│A).(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,剩下的产品共19件其中3件次品,从而P(B│A)=3/19(2)在原样本空间中计算,由于(3)434(),(),202019()43/20193().()4/2019PAPABPABPBAPA故#2、乘法定理设P(A)0,则有P(AB)=P(A)P(B│A).同样,当P(B)0时,有P(AB)=P(B)P(A│B).乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:12112121312121()0,()()()()().nnnnPAAAPAAAPAPAAPAAAPAAAA设则有例2：设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前1n次取出黑球,后11nnn次取白球的概率是多少?解：i设A={第i次取到黑球},i=1,2,,n,则121();();;bPAabbcPAAabc长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第8页共12页81111112111121(1)();(1)();;nnnnbncPAAAAabncaPAAAAabnc1121112(1)()(1)nnnnancPAAAAAAabnc.1111111112111211212()()()()()nnnnnnnnnPAAAAAPAPAAPAAAAPAAAAAA于是所求的概率为1211(1)(1)2.2(1)(1)bncancbbcbcaababcabcabncabncabnc#4、全概率公式与贝叶斯公式12001,,1,,,1,2,,;2.nijniiAAAAAijijnA设为样本空间，，，为的一组事件若满足n21则称A,A,LA为Ω的一