第一章概率论的基本概念练习题

第一章概率论的基本概念练习题1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,,中的样本点。2.在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB,,,,中的样本点。3.以CBA,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,AAA分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A,32AA,21AA,21AA,321AAA,313221AAAAAA.5.设事件CBA,,满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA，CAB，ACB.6.若事件CBA,,满足CBCA，试问BA是否成立？举例说明。7.对于事件CBA,,，试问CBACBA)()(是否成立？举例说明。8.设31)(AP，21)(BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：（1）AB，（2）BA，（3）81)(ABP.9.已知41)()()(CPBPAP，161)()(BCPACP，0)(ABP求事件CBA,,全不发生的概率。10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。11.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。12.从9,,2,1,0中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：501与三个数字中不含A，502或三个数字中不含A。13.从9,,2,1,0中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。14.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；15.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。16.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。17.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。18.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1）（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。19.设1)(0AP，证明事件A与B独立的充要条件是)|()|(ABPABP20.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是41，求)(AP和)(BP.21.证明若)(AP0，)(BP0，则有（1）（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）（2）当A与B不相容时，A与B不独立。22.已知事件CBA,,相互独立，求证BA与C也独立。23.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。24.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(pp，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。25.10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）（2）第二人中奖的概率。26.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。27.一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2）在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。28.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：（1）抽取的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。29.假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了)2(nn台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。30.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件的概率：（1）直到第r次才成功；（2）第r次成功之前恰失败k次；（3）在n次中取得)1(nrr次成功；（4）直到第n次才取得)1(nrr次成功。31.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。第二章随机变量及其分布练习题1.1.设X为随机变量，且kkXP21)((,2,1k),则（1）（1）判断上面的式子是否为X的概率分布；（2）（2）若是，试求）为偶数XP(和)5(XP.2.设随机变量X的概率分布为ekCkXPk!)((,2,1k),且0，求常数C.3.设一次试验成功的概率为)10(pp，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X的概率分布；（2）)5(XP。5.一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？6.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？7.设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且21)0(XP，求（1）；（2）)1(XP.8.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；10.已知X的概率分布为：X-2-10123P2a1013aaa2a试求（1）a；（2）12XY的概率分布。11.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.试求:（1）t的值；（2）X的概率密度；（3）)22(XP.12.设连续型随机变量X的概率密度为其他,00,sin)(axxxf试确定常数a并求)6(XP.13.乘以什么常数将使xxe2变成概率密度函数?14.随机变量),(~2NX，其概率密度函数为644261)(xxexf(x)试求2,；若已知CCdxxfdxxf)()(，求C.f(x)图1.3.8xto1230.515.设连续型随机变量X的概率密度为其他,010,2)(xxxf以Y表示对X的三次独立重复试验中“21X”出现的次数，试求概率)2(YP.16.设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21xXxP.如果（1）5121xx；（2）2151xx.17.设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从51的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和)1(YP.18.已知随机变量X的概率分布为2.0)1(XP，3.0)2(XP，5.0)3(XP，试求X的分布函数；)25.0(XP；画出)(xF的曲线。19.设连续型随机变量X的分布函数为331111,1,8.0,4.0,0)(xxxxxF试求:（1）X的概率分布；（2）)1|2(XXP.20.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；（2）X的分布函数。21.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.试求X的分布函数，并画出)(xF的曲线。22.设连续型随机变量X的分布函数为00,0,)(2xxBeAxFx　　试求:（1）BA,的值；（2）)11(XP；（3）概率密度函数)(xf.23.设X为连续型随机变量，其分布函数为.,;1,ln;1,)(exdexdcxxbxxaxFf(x)图1.3.8xto1230.5试确定)(xF中的dcba,,,的值。24.设随机变量X的概率密度函数为)1()(2xaxf，试确定a的值并求)(xF和)1(XP.25.假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数)(tN服从参数为1.0的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数；（2）今后3年内再次发生地震的概率；（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。26.设)16,1(~NX，试计算（1）)44.2(XP；（2）)5.1(XP；（3）)4(XP；（4）)11(XP.27.某科统考成绩X近似服从正态分布)10,70(2N，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？28.设随机变量X和Y均服从正态分布，)4,(~2NX，)5,(~2NY，而)4(1XPp，)5(2YPp，试证明21pp.29.设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令dcXY0c，试求随机变量Y的密度函数。第三章多维随机变量及其分布练习题1．设随机变量),(YX只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(、)31,1(、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(YX的分布律与关于X、Y的边缘分布律.2．一只口袋中装有