由向量组的秩和最大线性无关组的定义引出的有关矩阵秩的定理和线性相关的定理

矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.如果向量组α1,α2,…,αm中的每一个向量均可由向量组β1,β2,…,βr线性表出，并且mr，那么向量组α1,α2,…,αm线性相关.如果向量组α1,α2,…,αm中的每一个向量均可由β1,β2,…,βr线性表出，并且α1,α2,…,αm线性无关，那么m≤r.同一向量组的最大线性无关组所含向量的个数相同.向量组的最大线性无关组所含向量的个数就是该向量组的秩.对矩阵Amn作行(或列)的初等变换不改变矩阵列(或行)向量组的线性关系(线性相关性).对列向量而言,设矩阵A=(α1,α2,…,αn)经有限次行初等变换得到矩阵B=(β1,β2,…,βn),则A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性.