电介质习题思考题

习题1313-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。（1）0PP；（2）RxPP0。解：可利用公式'cosSSqPdSPdS算出极化电荷。首先考虑一个球的环形面元，有：2sin()dSRRd，（1）0PP时，由'cosP知10'cosP，2201000'cos2sinsin2202RPqPRdd；（2）RxPP0时，22000cos'coscoscosxRPPPRR，222220000'cos2sin2coscosqPRdRPd22300024cos33RPRP。13-2．平行板电容器，板面积为2cm100，带电量C109.87，在两板间充满电介质后，其场强为V/m104.16，试求：（1）介质的相对介电常数r；(2)介质表面上的极化电荷密度。解：（1）由0rE，有：18.710100104.11085.8109.8461270ESQr（2）520'(1)7.6610rPECm13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为3d，相对介电常数为r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3d的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为：00E，而电介质内的场强为：0rrE，所以，两板间电势差为：00233rdUd，那么，03(21)rrSQSCUUd，而00SCd，∴0321rrCC；（2）插入厚度为3d的导电板，可看成是两个电容的串联，有：00123/3SSCCdd，∴0021212323CdSCCCCC032CC。xyORxyORdSPsinrRcosxR3dr3d3d13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0与(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数r。解：（1）由：01(')SEdSqq，有：00'E（∵'给出的是绝对值）（2）又由00rE，有：00000000''rE。13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r)解：由'SqPdS，考虑到0(1)rPE，有：0'(1)SrqEdS，与0'SqqEdS联立，有：00''(1)rqqq，得：(1)'rrqq，∴1'rr。13-6．如图所示，半径为0R的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R和2R，相对电容率为r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。解：利用介质中的高斯定理iSSDdSq内。（1）导体内外的电位移为：0rR，24QDr；0rR，0D。（2）由于0rDE，所以介质内外的电场强度为：0rR时，10E；10RrR时，22004DQEr；21RrR时，32004rrDQEr；2rR时，42004DQEr。13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm4，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为0200/EkVm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：由介质中的高斯定理，有：02rEr，∴00ln22RRrrrrrRUEdrdrrr，∵击穿场强为0E，∴002rrE，则0lnrRUrEr，rrR令00rrrdUdr，有：000ln0REEr，∴0ln1RreRr0，∴0max000ln147RERUrEKVre。13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d和2d的电介质，它们的相对介电常数为1r和2r，极板面积为S，求电容量。解：∵12DD，∴101rE，202rE，而：1211220102rrddUEdEd，有：001212211212rrrrrrSSQCddUdd。13-9．利用电场能量密度212ewE计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电量为Q。解：首先求出场强分布：13022044QrErRERQErRr∴2222200032000()4()422424RRQrQWEdVrdrrdrRr20320QR。13-10．半径为cm0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm0.4和cm0.5，当内球带电量为C100.38时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？解：（1）先求场强分布：112122032333200404ErRqERrRrERrRqErErR考虑到电场能量密度212ewE，有：球与球壳之间的电能：2122220012001211()4()2248RRqqWEdVrdrrRR41.0110J球壳外部空间的电能：1r2rOR3R2R1R322220022003()42248RqqWEdVrdrrR58.110J，∴系统储存的电能：4121.8210；（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以1'0W而外表面所带电荷不变，那么：52'8.110WWJ。13-11．球形电容器内外半径分别为1R和2R，充有电量Q。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按CQW2e21算得的电容器所储电能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：204QEr，（12RrR）利用电场能量密度212ewE，有电容器内电场的能量：2122222002120012012()11()4()22488RRQRRQQWEdVrdrrRRRR；（2）由21212120012012()11()444RRRRQRRQQUdrrRRRR，则球形电容器的电容为：12120214RRRRQCURR，那么，2221012()128eQRRQWCRR。（与前面结果一样）13-12．一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。解：（1）维持两板上面电荷密度0不变，有介质时：2201001122rrSdWESd，（0rDE，0D）取出介质后：2202001122SdWESd，外力所做的功等于静电场能量的增加：2021011(1)2rSd；（2）维持两板上电压U不变，有介质时：20212121UdSCUWr，取出介质后：20222121UdSCUW，∴02211(1)2rS。考虑外力对电源做功：)1(0221rdSUCUqUA所以外力所做的功为：)1(21021rdSUWAA13-13．在边长为a的等边三角形的三个顶点上各有一电荷为+q的点电荷，而在三角形中心处有一电荷为3/q的点电荷，如图所示．求此点电荷系的电势能．解：三角形三个顶点上的电荷间的电势能为aqW021π43三角形中心上的电荷与三个顶点的电荷间的电势能为aqaqqW0202π433/π43/3总电势能W=W1+W20π43π430202aqaq答案：0。思考题1313-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？答：θPσcos。13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？答：111nPe，222nPe()P12nPPe即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。13-3．介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。13-4．真空中两点电荷Aq、Bq在空间产生的合场强为BAEEE.系统的电场能为d21d21020e00EEVVEW000dd21d21BA02B02A0VVVEEEE.（1）说明等式后面三项能量的意义；（2）BA、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？（3）将BA、两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？答：第一项表示点电荷A所形成的电场的能量，第二项是点电荷B所形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。aaa+q+q+q3q