第一章解三角形.2

新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组第一章解三角形§1．1．1正弦定理（第一课时）教学目标：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点正弦定理的理解。教学过程一．自主学习1.如图固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2.在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，,,则从而在直角三角形ABC中有____________二.合作探究（由学生讨论、分析）思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：证法一：证法二：证法三：CABCAB新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即a=,b=,c=;(2)::abc;（3）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①________________________________________________________；②________________________________________________________;一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1．在中，已知0045,30,10ABc，解三角形。三.达标检测1.在中，已知0075,45,32ABc，求a、b2.已知ABC中，，则=四.课时小结（由学生归纳总结）五.课后作业第4页练习1[习题1.1]第1题。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组§1．1．1正弦定理（第二课时）教学目标知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理研究斜三角形中的一些问题和解决一些简单的测量问题。教学重点正弦定理的运用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程一．自主学习1.正弦定理：2.正弦定理的变形：（1）；（2）；（3）二.合作探究例1．在中，已知045,2,2Aab，解三角形评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。探究：由例1思考：已知两边a、b和一边的对角A,求角B时，若A为锐角，有几种情形？画出草图bACbACbACbAC结论例2.仿照正弦定理的证法1，证明111sinsinsin222ABCSabCbcAcaB，并运用这一结论解决下面的问题：（1）在中，已知02,3,150abC,求ABCS；新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组（2）在中，已知0010,45,30cAC,求b和ABCS；三.达标检测1.不解三角形判断下列三角形解得个数（1）07,14,30abA（2）030,25,150abA（3）06,9,45abA（4）09,10,60bcB2.在中，已知045,2,6Aab，求B、C3.在中，已知018,20,150abA,解三角形四.课时小结五.课后作业第4页练习2[习题1.1]第2题拓展提升1在中，若已知coscosaAbB,判断三角形的形状。2.在ABC中，已知AC=2,BC=3,cosA=45,(1)求sinB的值；(2)求sin(2)6B的值。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组§1.1.2余弦定理●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。●教学过程Ⅰ.自主学习如图所示，两游艇自O处同时出发，一艘以10km/h的速度向正东方向行驶，另一艘以6km/h的速度向北偏西030方向行驶，30min后两游艇之间的距离为多少？o问题探究：上述情境中蕴含了什么数学知识？如何用语言描述？又如何用数学语言表示？Ⅱ.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？问：在上节中，我们用什么向量知识得到了正弦定理？证明：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即；；。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组探究：已知ABC中，sin:sin:sin2:6:(31)ABC，则A=;B=.思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）余弦定理又可以写成如下形式：；；；[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例1．在ABC中，已知，，045B，求b及A分析：求b只能用余弦定理，求出b后求可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理：练习：完成引入和探究例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组结论：已知三边a、b、c判断三角形形状的方法A为直角A为锐角A为钝角[随堂练习]（1）在ABC中，已知sin:sin:sin2:4:5ABC，判断ABC的类型，（2）设x、x+1、x+2是锐角三角形的三边长，求实数x的取值范围，(3)设2a+1,a,2a-1是钝角三角形的三边长，求a的取值范围。Ⅲ.课堂练习第8页练习1、2Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业第10页[习题1.1]第3，4题。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组§1.2应用举例（第一课时）教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程Ⅰ自主学习1、[复习旧知]复习什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用。Ⅱ.新课学习（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题学习]例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=060，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)变式练习1：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组引申：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60例2、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。变式练习2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=060，在塔底C处测得A处的俯角=045。已知铁塔BC部分的高为20m,求出山高CD(精确到1m)Ⅲ.课堂练习课本第13、15、页练习Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业课本第19页习题第1、2、3新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组§1.2应用举例（第二课时）●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。●教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行80nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东030的方向航行70nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？Ⅲ.课堂练习课本第16、18页练习Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业1、课本第19页第4、6、7题2、我舰在敌岛A南偏西060相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西015的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？新课标必修五·数学·人教A版主备人:郭万生审核：高二数学备课组解三角形的章末总结知识网络图示形式：正弦定理变形①适合解决的问题：②形式：余弦定理变形：适合解决的问题：解三角形三角形中的有关公式正、余弦定理