第一章质点运动学课后习题解答

第一章质点运动学1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？dtdr；dtdr；dtds；dtdr；dtdr；22dtdr；dtdv；dtdv。解：1-2.设质点的运动方程为)();(tyytxx。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出22yxr，然后再根据dtdrv和22dtrda求解。也有人用分量式求解，即22)()(dtyddtxdv和222222)()(dtyddtxda，问哪种方法正确？解：第二种方法正确1-3．已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为32262ttx,式中x的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)t＝4s时质点的速度和加速度．解：(1)质点在4.0s内位移的大小m32Δ04xxx(2)由0ddtx得知质点的换向时刻为s2pt(t＝0不合题意)则m0.8Δ021xxxm40Δ242xxx所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为m48ΔΔ21xxs(3)t＝4.0s时1s0.4sm48ddttxv2s0.422m.s36ddttxa1-4.质点的运动方程为23010ttx22015tty式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向．解(1)速度的分量式为ttxx6010ddvttyy4015ddv当t＝0时,v0x＝-10m·ｓ-1,v0y＝15m·ｓ-1,则初速度大小为120200sm0.18yxvvv设v0与x轴的夹角为α,则23tan00xyαvvα＝123°41′(2)加速度的分量式为2sm60ddtaxxv,2sm40ddtayyv则加速度的大小为222sm1.72yxaaa设a与x轴的夹角为β,则32tanxyaaββ＝-33°41′(或326°19′)1-5．一质点的运动学方程为2tx，21ty(S1)。试求：(1)质点的轨迹方程：(2)在2ts时，质点的速度和加速度。解(1)由质点的运动方程2tx(1)21ty(2)消去参数t，可得质点的轨迹方程1xy(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度tdtdxvx212tdtdyvy所以jijiv122ttvvyx(3)222dtxdax222dtyday所以jia22(4)把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。jiv24jia221-6.已知运动函数为jtRitRrˆsinˆcos(R,ω为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。解：速度：jtRitRrdtdvˆcosˆsin速度大小：Rv加速度：jtRitRvdtdaˆcosˆsin22加速度大小：2Ra切向加速度：0vdtda；法向加速度：222Raaan1-7.质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为332t（SI）.求：⑴2ts时,质点的切向加速度和法向加速度.⑵当加速度的方向和半径成045角时,角位移是多少？解：质点运动的角速度和角加速度分别为：29dtdt18dtdt切向加速度：11818dvarttdt法向加速度：22241(9)81nartt⑴当2ts时21818236/atms442818121296/natms⑵加速度的方向和半径成045时，即naa48118tt329t此时角位移3323232.67ttrad1-8.飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为β=0.2rad·2s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：当s2t时，4.022.0t1srad则16.04.04.0Rv1sm064.0)4.0(4.022Ran2sm08.02.04.0Ra2sm22222sm102.0)08.0()064.0(aaan1-9.飞机以100m·ｓ-1的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远？(2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3)物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？解:(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x＝vt,y＝1/2gt2飞机水平飞行速度v＝100m·s-1,飞机离地面的高度y＝100m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m4522gyxv(2)视线和水平线的夹角为o5.12arctanxyθ(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vvvgtαxyarctanarctan取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2sm88.1arctansinsinvgtgαgat2sm62.9arctancoscosvgtggan1-10一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ=2+4t3．求：（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：（1）角速度为ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度为an=rω2=230.4(m·s-2)；角加速度为β=dω/dt=24t=48(rad·s-2)，切向加速度为at=rβ=4.8(m·s-2)．（2）总加速度为a=(at2+an2)1/2，当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即3ntaa．由此得23rr，即22(12)243tt，解得33/6t．所以3242(13/3)t=3.154(rad)．（3）当at=an时，可得rβ=rω2，即：24t=(12t2)2，解得：t=(1/6)1/3=0.55(s)．1-11.一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为sm10，求物体的速度与位置的关系。解：dxdvvdtdxdxdvdtdvaadxvdv对上式两边积分得dxxadxvdv62化简得cxxv462由题意知10040620cvx100c故物体的速度与位置的关系为100462xxv1-12.一质点在平面内运动，其加速度jiayxaa，且xa，ya为常量。(1)求tv和tr的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，0rr，0vv。解：由dtdva得dtav两边积分得tdt00avvv因xa，ya为常量，所以a是常矢量，上式变为tavv0即tavv0由dtdrv得dttdtdavvr0两边积分，并考虑到0v和a是常矢量，tdttd000avrrr即20021ttavrr(2)为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。这样2121tatcxx(1)tcy2(2)由前面推导过程知xvc01yvc02(3)联立(1)~(3)式，消去参数t得xxxyxyxavxavavvy222020200此即为轨道方程，它为一条抛物线。1-13.在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bvga，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?解：(1)由dtdva/得dtBvgdv两边积分，得dtBvgdv即cBtBvgln)ln(由t=0时v=0得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为:)1(BteBgv(2)当a=0时有a=g-Bv=0由此得收尾速率v=g/B1-14一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动，其加速度aky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值。设0y处物体的速度为0v，求速度v与y的函数关系。解：建立如图坐标，由dvdvdydvavdtdydtdy，又aky所以dvkyvdy，分离变量vdvkydy，积分00()vyvyvdvkydy所以222200()vvkyy。1-15火车在曲率半径400Rm的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度20.2/tams，求火车的瞬时速率为10/ms时的法向加速度和加速度。解：法向加速度222100.25/400nvams加速度大小222220.250.20.32/ntaaams0.25arctanarctan51.360.2ntaa1-16一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上A点处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为30，求点A的切向加速度和该处的曲率半径。解：sin300.5agg3cos302nagg，22223332nvvvagg1-17一火炮在原点处以仰角130、初速10100/vms发射一枚炮弹。另有一门位于060xm处的火炮同时以初速2080/vms发射另一枚炮弹，其仰角2为何值时，能与第一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）？解：建立如图坐标，设经过时间t在x处两只炮弹相碰，分别讨论两炮弹的抛体运动，相遇时有：弹1：101cosxvt（1）21011sin2yvtgt（2）弹2：0202cosxxvt（3）22021sin2yvtgt（4）由（1）（2）（3）（4），解得：25sin,838.682，2.48ts，214.7xm，93.86ym或者141.32，0.403ts，34.87xm，19.34ym。（答案里少这种情况）