第一章量子力学基础例题与习题

第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A．211B．231C．222D．213。解：(C)。2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。解：(E)。3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。()解：光子波长自由电子300g小球。4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。解：。5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。其值是多少？若无，求其平均值。解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。(2s+1)(1)二维方势箱中的9个电子。(2)二维势箱中的10个电子。(3)三维方势箱中的11个电子。解：(1)2，(2)3，(3)4。9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。求(1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。解：15．对立方箱中的粒子，考虑的能量范围。(1)在此范围有多少个态？(2)在此范围有多少个能级？解：(1)17(2)6。例题与习题二、思考题1.微观粒子运动服从Schrödinger方程，宏观物体可用牛顿定律描述它们的运动规律，请问如何界定微观粒子与宏观物体的界限?答：我们可用Heisenberg测不准关系来区分，即坐标与动量不确定量的乘积要大于普朗克常数的数量级△x·△p≥h例如质量为0.008kg子弹，运动速度为500ms－1，若速度不确定度为1％，则位置的不确定度为子弹弹孔10－32数量级的偏差对任何靶场来说，都是测不出来的，可以忽略。而对原子、分子中的电子质量为9.1×10－31kg运动速度取2000ms－1，速度不确定度也是1％，则位置不确定度原子间距在10－10m数量级，所以10－5m数量级说明电子根本无法测定。2.量子力学中如何描述微观粒子的运动状态答：由于微观粒子的波粒二象性，量子力学中用状态波函数ψ来描述粒子的运动状态，在原子、分子体系中ψ就是我们常说的电子的原子轨道或分子轨道，ψ*ψ称为几率密度，也是通常说的电子云。ψ*ψdτ是电子在空间某微体积元dτ出现的几率。3.试从势箱中自由粒子的Schrödinger方程求解归纳一下简单体系的Schrödinger方程解法。答：Schrödinger方程是一个本征方程。势箱中粒子的方程是二阶常系数微分方程。求解具体步骤如下：①写出的具体形式（）②写出微分方程的通解③根据边界条件，得到能量本征值E④能量E代入ψ，再用ψ的正交归一性，求出ψ的具体形式。