第一章集合与常用逻辑用语知识结构

第一章集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】一、集合的概念、关系与运算●1.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.●2.集合的表示方法：列举法、描述法.图示法表示，常用的集合符号，如,,,,,,NNNZRQ●3.元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x是集合A的元素，则xA，否则xA。●4.集合与集合之间的关系：①子集：若xA，则xB，此时称集合A是集合B的子集，记作AB。②真子集：若AB，且存在元素xB，且xA，则称A是B的真子集，记作：AB.③相等：若AB，且AB，则称集合A与B相等，记作A＝B.。●5.集合的基本运算：①交集：ABxxAxBI且②并集：{}ABxxAxBU或③补集：{|,}UCAxxUxA且，其中U为全集，AU。●6.集合运算中常用结论：①,,AAAAABBAIIII，ABAABI。②,,AAAAAABBAUUUU，ABABAU。③()UACAUU，()UCAAI，()()()UUUCABCACBIU，()()()UUUCABCACBUI。④由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个。真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2⑤空集是任何集合的子集，即A一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝()A．{5,7}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,3,5,6,7}2．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)}B．{0,1}C．[0，＋∞)D．[0,1]3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1B．2C．3D．44.设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．15.集合M＝{x|x2－1＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋2＝0}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－1,1}B．{－1}C．{1}D．∅6.集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{0,1}D．{－1,0,1}二、命题及其关系●1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。●2．四种命题的相互关系：●3.“若p则q”是真命题，即pq；“若p则q”是假命题，则pq。●4.原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。●5.（1）①p是q的充分不必要条件是指pq且pq；②p的必要不充分条件是q是指pq且qp。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件。●6.证明p是q的充要条件（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的互为原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p互逆逆否互为互否互否互逆,pq若则,qp若则逆否前提条件，推出p。一、选择题1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题2．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2011陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b4．已知集合A＝{x∈R|12＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．－2＜m＜25．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，则“a＝b”是“sinA＝sinB”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件7.给出下列四个结论：①命题“∃x0∈R，x20－x0＞0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x)＞g′(x)．其中正确结论的序号是______．三、逻辑联结词与量词●1．含有“且（）”“或()”“非（）”命题的真假性：pqpqpp真、q真真真假p真、q假假真假p假、q真假真真p假、q假假假真●2．全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有()px成立”可用符号简记为,()xMpx。含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M中任意一个x，使()px成立”可用符号简记为,()xMpx。●3．全称命题与特称命题的关系：一、选择题1．已知命题“任意a，b∈R，如果ab0，则a0”则它的否命题是()A．任意a，b∈R，如果ab0，则a0B．任意a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．存在a，b∈R，如果ab0，则a0D．存在a，b∈R，如果ab≤0，则a≤02．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件Pp的否定全称命题：,()xMpx特称命题：,()xMpx特称命题：,()xMpx全称命题：,()xMpxC．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R使得x2＋x＋1＜0”，则綈p：“任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”5．由命题p：“函数y＝1x是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是()A．p或q为真，p且q为假，非p为真B．p或q为假，p且q为假，非p为真C．p或q为真，p且q为假，非p为假D．p或q为假，p且q为真，非p为真6．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________．①命题“p且q”为真；②命题“p或非q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“非p且非q”为假．7．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．