第一章集合单元质量评估(北师大版必修一)

1第一章集合单元质量评估（北师大版必修一）第一章单元质量测评(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x∈Q|x－1}，则()A．∅∈AB.2∉AC.2∈AD．{2}A解析：注意到集合A的元素是有理数，两者是元素与集合的关系，故应选B.答案：B2．[2014·荆州市中学期中]已知全集U＝{0,1,2,3,4}，M＝{0,1,2}，N＝{2,3}，则(∁UM)∩N＝()A．{2,3,4}B．{2}C．{3}D．{0,1,2,3,4}解析：本题属基础题，考查学生对集合的补集、交集概念掌握的情况，先由观察全集求出集合M的补集，再求出M的补集与集合N的交集，从而得出答案是C.答案：C3．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是()A．35B．25C．28D．15解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；仅跳远及格的人数为(40－x)人；仅铅球及格的人数为(31－x)人；两项都不及格的人数为4人，∴40－x＋31－x＋x＋4＝50，∴x＝25.答案：B4．[2014·陕西工大附中高一质检]如图所示的韦恩图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则A*B＝()A．∁U(A∪B)B．A∪(∁UB)C．(∁UA)∪(∁UB)D．(A∪B)∩∁U(A∩B)解析：阴影部分为A∪B去掉A∩B后的部分，为(A∪B)∩∁U(A∩B)．选D.2答案：D5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝1xD．y＝－|x|解析：y＝3－x在(0,2)上为减函数，y＝1x在(0,2)上为减函数，y＝－|x|在(0,2)上亦为减函数．答案：B6．[2014·四川攀枝花市米易中学月考]已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a的值可以是()A．2B.23C．4D．6解析：因为函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，所以在函数f(x＋1)中，3－2a＜x＋1＜a＋1，则函数f(x＋1)的定义域为(2－2a，a)，又因为f(x＋1)为偶函数，所以2－2a＝－a，a＝2，故选A.答案：A7．[2013·衡水高一调研]已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(x－1)的定义域是()A．[0,5]B．[－1,4]C．[－3,2]D．[－2,3]解析：由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4.∴－1≤x－1≤4，得0≤x≤5，即y＝f(x－1)的定义域为[0,5]．答案：A8．若函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x－1，则当x0时，有()A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)f(－x)≤0D．f(x)－f(－x)0解析：f(x)为奇函数，当x0，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x－1)＝x＋1，f(x)·f(－x)＝－(x＋1)2≤0.答案：C9．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(8)＝3，则f(2)＝()A.54B.343C.12D.14解析：依题意得f(x＋y＋z＋w)＝f(x＋y)＋f(z＋w)＝f(x)＋f(y)＋f(z)＋f(w)，令x＝y＝z＝w＝2可得f(8)＝4f(2)，因此代入f(8)＝3可解得f(2)＝34，选B.答案：B10．下图所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为()(1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．(1)(2)(4)B．(4)(2)(3)C．(4)(1)(3)D．(4)(1)(2)解析：事件(1)中因为返回，故回家后距离应该为0，应该选图象(4)；事件(2)中交通堵塞，就是说离开家的距离停顿下来，故应该选图象(1)；事件(3)说明速度先慢后快，故选图象(2)．答案：D11．[2014·哈尔滨市第九中学高一期中]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是()A．a≤2B．a≥－2C．－2≤a≤2D．a≤－2或a≥2解析：由已知可得函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，因为f(a)≤f(2)，所以|a|≥2，解得a≤－2或a≥2.故答案选D.答案：D12．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A.f(1)≥25B.f(1)＝25C.f(1)≤25D.f(1)254解析：∵函数f(x)＝4x2－mx＋5的图象对称轴为x＝m8，则有m8≤－2，∴m≤－16，而f(1)＝4－m＋5＝9－m，∴f(1)≥25.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y＝x＋1＋12－x的定义域为________．解析：由题意知x＋1≥0，2－x≠0，∴x≥－1且x≠2.答案：[－1,2)∪(2，＋∞)14．[2014·江苏盐城中学月考]设函数f(x)＝x2＋1，x≤1x2＋x－2，x＞1，则f[f(－1)]的值为________．解析：∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2，∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋2－2＝4.答案：415．[2014·荆州市中学期中]已知A是有限集合，x∉A，B＝A∪{x}，若A，B的子集个数分别为a，b，且b＝ka，则k＝________.解析：不妨设集合A中的元素个数为n，则集合B中的元素个数有n＋1，所以a＝2n，b＝2n＋1，因此b＝2a，故所求k的值为2.答案：216．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调减区间是________．解析：f(x)＝2x2－3xx≥02x2＋3xx0，图象如下图所示f(x)减区间为(－∞，－34)，(0，34)．答案：(－∞，－34)，(0，34)三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)[2013·重庆一中高一定时练习]已知集合A＝{x|3≤x10}，集合B＝{x|2x－8≥0}．(1)求A∪B；5(2)求∁R(A∩B)．解：(1)B＝{x|x≥4}，∴A∪B＝{x|x≥3}．(2)A∩B＝{x|4≤x10}，∁R(A∩B)＝{x|x4或x≥10}．18．(12分)[2014·云南玉溪一中高一期中]设集合A＝{a，a2，b＋1}，B＝{0，|a|，b}且A＝B.(1)求a，b的值；(2)判断函数f(x)＝－bx－ax在[1，＋∞)的单调性，并用定义加以证明．解：(1)由集合A＝B，所以有a＋a2＋b＋1＝0＋|a|＋ba×a2×b＋1＝0×|a|×b；求出a、b的值，最后把a、b的值代入集合A、B中，验证是否满足集合的互异性；(2)根据函数单调性的定义即可得到函数f(x)的单调性．(1)∵集合A＝B∴a＋a2＋b＋1＝0＋|a|＋ba×a2×b＋1＝0×|a|×b解得a＝－1，b＝－1此时A＝{－1,1,0}，B＝{0,1，－1}，满足集合的互异性，∴a＝－1，b＝－1(2)由(1)知f(x)＝x＋1x，f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上单调递增．任取x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2f(x1)－f(x2)＝(x1＋1x1)－(x2＋1x2)＝(x1－x2)＋x2－x1x1·x2＝(x1－x2)(1－1x1·x2)＝(x1－x2)x1·x2－1x1·x2∵x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1·x2－1＞0，x1·x2＞0所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)所以f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上单调递增．19．(12分)已知f(x)＝x2013＋ax3－bx－8，f(－2)＝10，求f(2)．解：已知g(x)＝x2013＋ax3－bx为奇函数，即对g(x)＝x2013＋ax3－bx有g(－x)＝－g(x)，也即g(－2)＝－g(2)，f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，得g(2)＝－18，f(2)＝g(2)－8＝－26.20．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．6(1)当a＝12时，判断并证明f(x)的单调性；(2)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值．解：(1)当a＝12时，f(x)＝x2＋2x＋ax＝x＋2＋12x＝x＋12x＋2.设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋12x1)－(x2＋12x2)＝(x1－x2)＋(12x1－12x2)＝(x1－x2)＋x2－x12x1x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)＝(x1－x2)·x1x2－12x1x2.因为1≤x1＜x2，所以x1－x20，x1·x20，x1x2－120，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)当a＝－1时，f(x)＝x－1x＋2.因为函数y1＝x和y2＝－1x在[1，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝x－1x＋2在[1，＋∞)上是增函数．当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝1－11＋2＝2，即函数f(x)的最小值为2.21．(12分)定义在实数集R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.(1)求f(x)在R上的表达式；(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．解：(1)设x0，则－x0.f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x0时，f(x)＝－4x2－8x－3.∴f(x)＝－4x2＋8x－3x≥0，－4x2－8x－3x0，即f(x)＝－4x－12＋1x≥0－4x＋12＋1x0.7(2)∵y＝f(x)开口向下，∴y＝f(x)有最大值，f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝1.函数y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．22．(12分)[2014·许昌高一五校联考]已知函数f(x)的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，若f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求函数f(x)在区间[－2,4]上的值域．解：(1)证明：∵f(x)的定义域为R，令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又∵x2－x10，∴f(x2－x1)0，∴f(x2)－f(x1)0，即f(x1)f(x2)．故f(x)是R上的减函数．(3)∵f(－1)＝2，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－4，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.由(2)知f(x)是R上的减函数，所以当x＝－2时，f(x)取得最大值，最大值为f(－2)＝4；当x＝4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)＝－8.所以函数f(x)在区间[－2,4]上的值域为[－8,4]．