第53讲排列与组合(第2课时-排列组合)

第53讲排列与组合-排列组合（第2课时）排列与组合排列组合的综合应用有限制条件的应用问题无限制条件的应用问题组合的应用的性质组合、组合数及组合数组合有限制条件的应用问题无限制条件的应用问题排列的应用排列与排列数排列重点：1．排列组合的概念、计算公式及性质；2．排列组合的应用问题。难点：1．有多个限制条件的应用问题；2．排列组合的综合问题。1．理解排列组合的意义；2．掌握排列数组合数计算公式，掌握组合数的性质；3．能解决一些简单的应用问题。1．排列组合应用题；2．结合古典型概率考查排列组合应用。1．排列的定义与排列数公式⑴定义：从n个不同的元素中，任取m（nm）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取m个元素的一个排列，记为mnA。特别地，当nm，即从n个不同元素中全部取出的排列叫做全排列，记为nnA；当nm时，称mnA为选排列。⑵排列数公式①)1()2)(1(mnnnnAmn（nmNnm,*,）；②)!(!mnnAmn（nn321!，规定1!0）；③!nAnn。注意：利用)!1()1(!)1()!1(nnnnnn可以简化计算。例．计算!6!7!6!8。神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！解：原式619!66!655!6!67!6!678。点评：约分后能简化运算。2．组合的定义与组合数公式⑴定义：从n个不同的元素中，任取m（nm）个元素并成的一组，叫做从n个不同元素中取m个元素的一个组合，记为mnC。⑵组合数公式①!mACmnmn；②)!(!!mnmnCmn。⑶组合数的性质①mnnmnCC，规定10nC。②11mnmnmnCCC。3．排列组合的应用在解答排列组合应用题时，需要注意以下几点：⑴解实际问题时，解答中要作简要的说明，不能只列出一个算式了事。⑵解题时，首先要考虑问题中所要做的“事情”是什么，怎样的结果才算是完成了这件事情。例．过正方体各顶点可以连成多少条线段？分析：因为正方体共有8个顶点，这些顶点中的任意三点都不共线，所以我们要做的事情就是从正方体的8个顶点中任取两个连成线段。每连成一条线段，事情就算得到了一种结果。⑶题中所说的事情的完成办法是否要分成几类，如果需要则使用分类计数原理（加法原理）；题中所说的事情是否需要分成几步来完成，如果需要则使用分步计数原理（乘法原理）。完成题中所述事情的每一步是排列问题还是组合问题，这需要考虑把取出的m个元素变更一下顺序对本题来说是否意味着出现新的结果。实际上，你可以假设自己就是负责人，正在亲手做这件事情。例．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的五位数，要求组成的五位数的数字中有2个偶数，3个奇数，能组成这样的五位数多少个？分析：完成题给事情需要分三步，第一步，从1到7中选出2个偶数；第二步，从1到7中选出3个奇数；第三步，用选出的五个数字组成五位数。解：从1到7中选出2个偶数有23C种，从1到7中选出3个奇数有34C种，用选出的五个数字组成五位数有55A种。∴23C34C144001204355A个答：合题意的五位数共有14400个。例．把8人平均分为4组，到4辆公交车里打扫卫生，如果同样2人在不同的车上作为不同情况，问有多少种不同的分法？分析：共有8人，每车2人，第1步安排2人上第1车，第2步安排2人上第2车，第3步安排2人上第3车，第4步安排2人上第4车，完成题给事情需要分四步。解：安排2人上第1车有28C种方法，安排2人上第2车有26C种方法，安排2人上第3车有24C种方法，安排2人上第4车有22C种方法。∴28C26C24C252022C种答：合题意的奋发共有2520种。请思考，本例能不能如下解：从8人中选出2人站在一边（暂不上车）有28C种方法，从剩下的6人中选出2人站在一边（暂不上车）有26C种方法，从剩下的4人中选出2人站在一边（暂不上车）有24C种方法，从剩下的2人中选出2人站在一边（暂不上车）有22C种方法。这时再把这四组人分上车，有分法44A种，故共有分法28C26C24C4422AC种。思考题解答：这里的44A是重复。不出错的最好办法就是“设身处地”，你想象自己身临其境地去做这件事。你在分配任务时，肯定是叫出2人直接分到车上，而不会让他们站在一边。例．从A、B、C、D四人中，选出2人当代表，问共有多少种不同的选法？从以上四人中选出2人，一人当班长，一人当副班长，问共有多少种不同的选法？分析：假设我们从四人中选出A、C，这就是一种结果，把它的顺序变一下成为C、A。就选两个代表而言，C、A与A、C是同一种结果，因此是组合问题。但对于选正副班长，C、A与A、C就不是同一种结果，因此是排列问题。⑷解题时，可以使用直接法，也可以使用排除法所谓直接法就是把符合条件的结果直接算出来，排除法就是用总数减去不符合条件的而得出符合条件的结果。例．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法一（直接法）：从1、2、3、4、5中任取一个放在百位有15C种；从余下的5个数中任取2个放在十位和个位有25A种，故共有排法15C25A种。（结果略）解法二（排除法）：不考虑0是否在百位有36A种，0在百位的有25P种；故共有排法36A-25A种。（结果略）⑸解排列组合问题时，要合理确定谁是“元素”，谁是“位置”。在同一个问题中，“元素”与“位置”有时是可以互换的。例．⑴现有两种不同的职务，每种职务需要1人担任，候选人共有4名，问有多少种选法？⑵现有2名同学，4种不同的职务，每人只能担任一种职务，有多少种安排法？分析：第⑴小题中，要把候选人放到职务中去，所以候选人是“元素”，职务是“位置”，应有选法1224A种；第⑵小题中，要把职务放到候选人上去，所以职务是“元素”，候选人是“位置”，应有选法1224A种。⑹分堆时，这一堆与那一堆是没有顺序的。例．有不同的6本书，①平均分给甲、乙两人，有几种分法？②平均分成两堆，有几种分法？分析：①不妨让甲先任意取3本，余下的就给乙（乙无选择），所以应有分法2036C种。②对于上一小题，某3本书，分给甲或是分给乙是不同的结果，但对于本小题，某3本书放在这一堆或是那一堆是无所谓的，因为地上的两堆书是没有顺序的，所以应有分法10236C种。⑺解排列组合问题要防止遗漏，也要防止重复多算。例．六名儿童站成一排表演节目，其中甲不站排头，乙不站排尾，问共有多少种不同的排法？分析：我们用六个方格表示六个位置，若无条件限制，则六名儿童可以有66A种排法。但现在甲不能站排头，乙不能站排尾，所以应该减去这两种不合题意的排法。如图1，甲站排头的排法为55A种，图1如图2，乙站排尾的排法为55A种，答案似乎应为55662AA种。且慢，两个55A种排法中，均包含了甲站排头且同时乙站排尾的排法（如图3，44A种），也就是说，对于甲站排头且同时乙站排尾的排法，图2减去了两次，显然多减了一次，应该加回来。故答案应为4455662AAA种。点评：我们也可以利用集合来考虑这个问题，设无条件限制时，甲乙甲乙六名儿童的所有排列为全集I，甲站排头的排法为集合A，乙站排图3尾的排法为集合B。A、B都是I的子集，画出图来如图4所示。此时就应该仔细考虑A、B是否有交集，若有则应将图画为图5。在有交集的情况下，合题意的应该有4455662AAA种。图4图5例．在3000到8000之间，有多少个没有重复数字的奇数？下面的解法有错误：把1、3、5、7、9放在个位上有15A种方法，把3、4、5、6、7放在千位上有15A种方法，剩下的8个数字放在十位和百位上有28A种方法，故有奇数15A15A28A个。分析：上述解法错在15A15A28A中包含着一类千位和个位数字相同的数，例如千位和个位都是3、5或是7。这样的数共有283A个（如右图）。故正确的结果应为15A15A28A-1232328A个。例．从1、2、…、100中，取两数相乘，其积能被3整除的有几对？下面的解法有错误：所有相乘的两个数中，至少有一个是3的倍数，其积就能被3整除，反之不然。从1到100中，有33个3的倍数，每一个与其余99个数相乘，其积能被3整除，故共有32679933对。分析：要检查排列组合问题的结果是否正确，可以把题目中的数据特殊化和简单化，然后再列出其结果来进行验证。现在我们把题给数据缩小范围，把1到100改为1到6，其它条件不变。按照上面的解法，结果应为1052对。把结果列出来如下：13，23，43，53，63；16，26，36，46，56。观察后发现，其中有重复，63和36是同一种结果，但计算了两次。1到100中，是3的倍数的哪些数，都会出现类似情况？即96和69、1512和1215、……等等，实际上共重复233C个。本题正确解法如下：27399933233C对。或：1到100中，任取两数相乘有2100C对，1到100中，有67个数不是3的倍数，从这67个数中任取2个数相乘有267C对，这267C对是不合题意的，故共有2100C-2739267C对。能力测试认真完成！335577余下8个数排DS2502,03排列与组合123456789101112排列√√组合√√区分排列组合√√分堆问题√√√防止遗漏√防止重复√√√√利用)!1()1(!)1()!1(nnnnnn简化计算√1．有10个同学两两握手，问共握了几次手？两两互赠照片，共需多少张？解：前者为组合，共握手45210C次；后者为排列，共需照片90210A张。点评：正确区分是排列还是组合。2．5人举行象棋比赛，每2人要互比一次，问共有多少场比赛。解：因为甲与乙赛棋就是乙与甲赛棋，显然是组合问题。共有1025C场。点评：正确区分是排列还是组合。3．由0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个数字不重复的：⑴四位偶数；⑵大于13000的五位数；⑶千位不是1，个位不是2的四位数；⑷3、4、5这三个数字必须相邻的六位数。解：⑴1562)(243535AAA；⑵552342445AA；⑶20423243546AAA；⑷108)(333344AAA。解题错误：第⑵、⑶小题出错。4．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数多少种？解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A33种.依乘法原理，共有N=C2433A=36(种)。解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N=21A34·3=36(种)。点评：解法一采用处理分堆问题的方法；解法二分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的。错解：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A34种。错误原因：上述解法将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的。5.把6本不同的书⑴平均分给3人，⑵平均分成3堆，⑶甲得1本，乙得2本，丙得3本，⑷1人得1本，1人得2本，1人得3本，各有多少种不同的分法？分析：用654321aaaaaa、、、、、表示6本不同的书。⑴平均分成3人，从6本中任选2本给第1人有26C种分法，从余下的4本中任选2本给第参考答案仔细核对！2人有24C种分法，从最后余下的2本中任选2本给第3人有22C种分法。故共有分法26C+24C+9022C种。⑵平均分成3堆，和平均分给3人相比，这里的3堆没有顺序问题，因顺序引起的变化有33A种