哈工大研究生课程现代设计理论与方法有限元大作业

2013年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目现代设计理论与方法学生所在院（系）机电工程学院学生所在学科机械制造及自动化学生姓名学号学生类别学术型考核结果阅卷人结构有限元专题作业设有两端固支的矩形截面梁，如下图所示：1、当梁的两端分别放置于刚度为k1和k3的基础上时，试列出结构的计算方程。2、当梁放置于刚度为k（x）的弹性基础上时，试列出结构的计算方程。（注：材料结构钢E=2.1X105MPa）解：一、当梁的两端分别放置于刚度为k1和k3的基础上时（1）单元剖分对于图所示的梁的形式，两端点及中点均应作为节点来处理。把结构剖分为两单元1和2，并标注出各节点和各自由度的序号，如下图所示：（2）单元特性分析由教材式（5.3）可知单元1和2的刚度矩阵分别如下：22132212612664621261266264zllllllEIKlllllll22232212612664621261266264zllllllEIKlllllll根据教材式（5.2），又可写出两单元节点力与节点位移的关系为：111FKq222FKq两式中的节点力、节点位移分别为111112121yzyzFMFFM11122zzvqv222223232yzyzFMFFM22233zzvqv将上式展开得：1111223126126ZyzzEIFvlvll2211112236462ZzzzEIMlvllvll2111223126126ZyzzEIFvlvll2221112236264ZzzzEIMlvllvll和2222333126126ZyzzEIFvlvll2222223336462ZzzzEIMlvllvll3222333126126ZyzzEIFvlvll2232223336264ZzzzEIMlvllvll（3）单元组集把单元1和2组合起来，形成原结构的整体。因为各个节点是处于平衡状态，所以节点1,3的内力分别等于节点1，3处的支反力。1，3处为弹性基础，不能提供弯矩，所以1，3处的支反弯矩为0。111yyFF1110zzMM323yyFF3230zzMM而对于节点2，两单元的节点力及内力矩之和应分别等于节点2的外载荷P2和0，即21222yyFFPz21220zMM将上面的式子联立后得：1112211122122222232122332223321261260064620012612126612606266446200126126006264yyzzyyzzzyyzzFFllMMllllPFFllllEIFMMlllllllllFFllMMllll112233zzzvvv（4）求解变形梁的两端都是弹性支撑，所以：111kyFv333kyFvz10Mz30M将其代入上面的式子，得到：3112212222232333322126126000064620012624012606208620001261260006264zzzzzzlkllEIvllllvPllEIllllllvllklEIllll上式6个未知量，6个方程，可求的各节点位移分量。二、当梁的放置于刚度为k（x）的弹性基础上时对于单元剖分与上一问中一致，这里不再赘述。根据能量变分原理，对于本题的情况，只需要考虑弯曲产生的应变能22202ldvxEIUdxdx载荷位能：221012lWFvldxkxvxdx1234,TizijzjqvvNNNNN1234izijzjvxNqNvNNvN32313132Nllxxl32232312Nlxlxlxl233312Nlxxl223431Nlxlxl单元的能量泛函22212200122TllTTTEIdNdNqqdxFNlqdxkxNqNqdxdxdx令0q得22212200()TllTdNdNEIqdxkxNNqdxFNldxdx因此可以求得单元1和2的刚度矩阵分别为：221302212612664621261266264lTzllllllEIKkxNNqdxlllllll222232212612664621261266264lTzlllllllEIKkxNNqdxlllllll对这两个刚度矩阵进行组合，然后按照第一问后面的过程即可求得其余的部分。反求工程设计专题作业气体静压轴承（主轴）的系列化设计设计参数：主轴的直径d气浮面的气膜厚度径向轴承的尺寸L（与主轴直径相同公比）轴向轴承的直径D气体静压轴承的结构示意图如下：查阅相关资料，得到下表对于在本设计中，采用小孔节流空气静压轴承，各参数的取值范围如下表所示：L/dD/d15um30um0.521.64.0首先令主轴直径d为100mm。由上表可知气膜厚度一般取15um30um之间，在本设计中选为20um。对于径向轴承，L/d的范围为0.52，本设计取为1.5，故L为150mm。对于推力轴承来说，其D/d一般为1.64.0，本设计中取为2.0，故D为200mm。查阅资料可知，对于径向轴承来说，其刚度W与其他参数之间有如下关系式：()sappdLfWf为载荷系数，在此设计中为定值，令sappp，因此有如下相似准则：1wpdLCCCCC在此轴承的系列化设计过程中，采用几何半相似设计，令1C，1.1dC。因此p是一个常量，所以在此处1pC。由于L与d成正比，所以1.1LC，故21.11.21wC。对于单孔推力轴承来说，当为定值时，按照最大刚度设计法时，有如下关系：2210.1225()()lnsaWppDdR其中2DRd为定值，2223Ddd。由此可以得出另一个相似准则：21wpdCCC当1pC，1.1dC时，对于推力轴承来说也有1.21wC，比较两个轴承的刚度相似常数可知两者相等，因此按照通过这种系列化设计方法设计出来的轴承刚度都同时扩大相同的倍数，能够满足要求。按照这种方法得出气体静压轴承的系列化设计参数表如下（表中部分数据进行了较小程度的近似）：气体静压轴承系列化设计参数表d（mm）8090100110120L（mm）125135150165180（um）2020202020D（mm）165180200220240