第一节导数及导数的运算

导数及其应用辅导讲义教学内容一、知识网络二、命题分析导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的趋势，对本单元的考查为：(1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现．(2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数的单调性、极值、最值问题，以大题形式出现．(3)以实际应用为背景，考查导数在生活中的最优化问题的应用，以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题，以大题形式出现．(4)(理)定积分也是微积分的核心概念之一，它能解决自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等．实际上微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用，因此导数及其应用成为近几年高考的热点．三、复习建议1．重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础．2．在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值．3．导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题，难度为中档题，故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式等问题．函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多，因此在复习时一定要重视．此外，导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起重视．四、知识讲解第一节导数及导数的运算（一）高考目标考纲解读1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．(文)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．(理)能根据导数定义，求函数y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4．(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．考向预测1．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中．2．导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算．（二）课前自主预习知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝0x处的导数①定义：称函数y=f(x)在x=0x处的瞬时变化率fx0＋Δx－fx0Δx=yx为函数y=f(x)在x=0x处的导数，记作f′(x0)或y′|x=0x，即f′(x0)=yx=fx0＋Δx－fx0Δx。②几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为．(2)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数0limx0limx0limx0limxf(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x3.导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[uxvx]′＝u′xvx－uxv′x[vx]2(v(x)≠0)．4.复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．（三）基础自测1．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x－1C．y＝2x－2D．y＝－2x－2[答案]A[解析]本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1[答案]A[解析]先求f(x)的导函数，再代入验证．当f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)时，f′(x)＝3(x－1)2＋3且f′(1)＝3(1－1)2＋3＝3.3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0[答案]D[解析]直线2x－y＋4＝0的斜率为k＝2.由y＝x2得y′＝2x，令2x＝2，得x＝1.所以切点为(1,1)，斜率k＝2，则所求切线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0为所求．4．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f′(x)的图像是()[答案]C[解析]由题意可知－b2，4c－b24在第二象限⇒－b204c－b240⇒b0，又f′(x)＝2x＋b，故选C.5.设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，5π12，则导数f′(1)的取值范围为()A．[－2,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2][解析]∵f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinθ＋π3.∵θ∈0，5π12，∴θ＋π3∈π3，3π4.∴sinθ＋π3∈22，1，∴f′(1)∈[2，2]，故选D.6．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．[答案]1[解析]主要考查导数及函数的求值f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4sinπ4＋cosπ4，f′π41＋22＝22，∴f′π4＝221＋22，∴fπ4＝f′π4cosπ4＋sinπ4＝221＋22·22＋22＝1.7函数f(x)＝lnxx在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.[答案]1e[解析]∵f(x)＝lnxx，f′(x)＝1－lnxx2，切线斜率f′(x0)＝1－lnx0x02＝0，∴x0＝e，∴f(x0)＝f(e)＝1e.8．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．求过点P的切线方程．[解析]设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x03.又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝y0－2x0－2＝3－3x02，即3x0－x03－2＝(x0－2)(3－3x02)∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0，解得x0＝1或x0＝1±3，相应的斜率k＝0或k＝－9±63.∴切线方程为y＝2或y＝(－9±63)(x－2)＋2.（四）典型例题1.命题方向：导数的概念[例1](1)若f′(x0)＝2，则limk→0fx0－k－fx02k的值为________；(2)若f′(x0)＝A，则limΔx→0fa＋Δx－fa－ΔxΔx＝________.[解析](1)令－k＝Δx，则k＝－Δx，∴原式＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2Δx＝－12limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝－12f′(x0)＝－1.(2)原式＝limΔx→0fa＋Δx－fa＋fa－fa－ΔxΔx＝limΔx→0fa＋Δx－faΔx＋lim－Δx→0fa－Δx－fa－Δx＝A＋A＝2A.跟踪练习1：设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f′(x0)的是()A.limΔx→0fx0－Δx－fx0ΔxB.limΔx→0fx0＋3Δx－fx0ΔxC.limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔxD.limΔx→0fx0－fx0＋ΔxΔx[答案]C2.命题方向：导数公式及其运算法则[例2]求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x2＋2；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝x1－x＋x2；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝lnxx2＋1；(6)y＝xcosx－sinx.(7)y＝(1＋sinx)2；(8)(理)y＝lnx2＋1；(9)(理)y＝cos32x＋ex；(10)(理)y＝lg1－x2.[解析]可利用导数公式和导数运算法则求导．(1)y′＝15x5′－43x3′＋(3x2)′＋(2)′＝x4－4x2＋6x.(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(3)y′＝x′（1－x＋x2）－x（1－x＋x2）′（1－x＋x2）2＝1－x＋x2－x（－1＋2x）（1－x＋x2）2＝1－x2（1－x＋x2）2(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(5)y′＝lnx′（x2＋1）－lnx·（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x·（x2＋1）－lnx·2x（x2＋1）2＝x2＋1－2x2·lnxx（x2＋1）2(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(7)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．(8)(理)y′＝12ln（x2＋1）′＝12·1x2＋1·(x2＋1)′＝xx2＋1.(9)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.(10)(理)y′＝12lg（1－x2）′＝12·lge1－x2·(1－x2)′＝xlgex2－1.跟踪练习2求下列函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sinx21－2cos2x4；(4)y＝11－x＋11＋x；(5)y＝ex＋1ex－1.[解析](1)∵y＝x12＋x5＋sinxx2＝x－32＋x3＋x－2sinx，∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－32x－52＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.(3)∵y＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12cosx.(4)y＝11－x＋11＋x＝1＋x＋1－x－x＋x＝21－x，y′＝21－x′＝－2（1－x）′（1－x）2＝2（1－x）2.(5)y′＝（ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′（ex－1）2＝ex·（ex－1）－（ex＋1）·ex（ex－1）2＝－2ex（ex－1）23.命题方向：导数的几何意义[例3]已知曲线方程为y＝x2，(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．[解析