复习课锐角三角函数中考要求1)基本概念:包括直角三角形的基本元素,边角关系,锐角三角函数等2)基本计算:包括对角的计算,对边的计算,应用某种关系计算等。3)基本应用:主要题型是:测量,航海,坡面改造,光学,修筑公路等其主要思想方法是:方程思想,数形结合,化归转化,数学建模等。解直角三角形锐角三角函数解直角三角形三角函数定义特殊角的三角函数值互余两角三角函数关系同角三角函数关系两锐角之间的关系三边之间的关系边角之间的关系定义函数值互余关系函数关系知识概要ABC∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边1.锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数定义注意:三角函数的定义,必须在直角三角形中.2.∠A的取值范围是什么?sinA,cosA与tanA的取值范围又如何?特殊角的三角函数值表要能记住有多好三角函数锐角α300450600正弦sinα余弦cosα正切tanα2123332222123213三角函数值的变化规律1)当角度在0---90之间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)2)当角度在0---90之间变化时,余弦值(余切值)随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)1.互余两角三角函数关系:1.SinA=cos(900-A)2.cosA=sin(900-A)2.同角三角函数关系:1.sin2A+cos2A=1AAAcossintan.23.tanAtan(90°-A)=1什么是解直角三角形?由直角三角形中除直角外的已知元素,求未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图:Rt△ABC中,∠C=90°,则其余的5个元素之间关系?CABbca解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系∠A+∠B=900a2+b2=c2ACBabcsinA=accosA=bctanA=ab只要知道其中2个元素(至少要有一个是边)就可求出其余3个未知元素。1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.知识概要应用问题中的几个重要概念•以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示:30°45°BOA东西北南2)方向角45°45°西南O东北东西北南西北东南图19.4.5坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,有i==tana显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.lh在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.lh如图:坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比).记作i,即I=.3)坡度(坡比),坡角的概念☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系1)在RtABC中,∠C=90°BC=a,AC=b若sinA﹕sinB=2﹕3,求a﹕b的值锐角三角函数的概念解法1设AB=c由三角函数的定义得:sinA﹕sinB=a/c﹕b/c=a﹕b∴a﹕b=2/3解法2由三角函数的定义得:a=csinA,b=csinB,a/b=csinA/csinB∴a﹕b=sinA/sinB=2/3抓住三角函数的定义是解题的关键☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念2在ABC中∠A≠∠B,∠C=90°则下列结论正确的是()(1)sinAsinB(2)sin²A+sin²B=1(3)sinA=sinB(4)若各边长都扩大为原来的2倍,则tanA也扩大为原来的2倍A)(1)(3)B)(2)C)(2)(4)D)(1)(2)(3)解析:令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5,sinB=4/5且∠A≠∠B,易知(1)(3)都不对,故选B)用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式,是解决选择题的常用方法☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系特殊角的三角函数值2.求特殊角的三角函数值3.如果cosA-0.5+3tanB-3=0,那么ABC是()?A)锐角三角形B)直角三角形D)钝角三角形C)等边三角形解:根据非负数的性质,由已知得cosA=12,tanB=3则A=B=60C☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系特殊角的三角函数值2.求特殊角的三角函数值4.计算:sin245-123-20060+6tan30解:原式=(22)2-121+633=12-12+23=23点评融特殊角的三角函数值,简单的无理方程的计算以及数的零次幂的意义于一体是中考命题率极高的题型之一☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数5.下列式中不正确的是()A)cos35=sin55B)sin260+cos260=1C)sin30+cos30=1D)tan45sin45C点评:应用互余的三角函数关系进行正弦与余弦的互化,并了解同一个锐角的三角函数关系,能运用其关系进行简单的转化运算,才能解决这类问题。☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数6、已知α是锐角,且sin(α+15°)=,计算:32102)31(tan)14.3(cos48☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形7.在RtABC中,C=90,sinA=45,求cosA,tanA,的值.点评:由于三角函数是边之间的比,因此利用我们熟知的按比例设为参数比的形式来求解,是处理直角三角形问题的常用方法。☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形ABC8.如图小正方形的边长为1,连结小正方形的三个顶点得到ABC,则AC边上是的高()A)322B)3105C)355D)455点评:作BC边上的高,利用面积公式即可求出AC边的高,面积法是解决此类问题的有效途径☆考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形5.解直角三角形的应用解直角三角形的应用9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离(即CE的长)为8米,测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°旗杆底部的俯角∠ECB为45°则旗杆AB的高度是()米解:如图在RtACE和RtBCE中ACE=30,EC=8tanACE=AEEC,tanECB=EBEC即AE=8tan30=833EB=8tan45=8AE+EB=(8+833)米.CABDEE点评:此题属于解直角三角形的基本应用题—测量问题,要明确仰角和俯角,然后数形结合直接从图形出发解直角三角形.10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上,航行3小时到达点B,测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁(1)试证明:点B在暗礁区外;(2)若继续向东航行有无触暗礁的危险?东北CABD解:1)由题意得,∠CAB=30°,∠ABC=120°,则∠C=30°,BC=AB=30×3=9016∴点B在暗礁区外.2)如图过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D点,设BD=x,在RtBCD中,∠CBD=60°,tan60=CDBD=CDxCD=3xRtACD中,CAD=30tan30=CDAD=3xAD,AD=3x又AD-BD=AB,即3x-x=90x=45即CD=45316∴船继续向东航行没有触礁的危险。11.如图所示,B、C是河对岸的两点,A是对岸岸边一点,测量∠ABC=45°,∠ACB=30°,BC=60米,则点A到BC的距离是多少米?(精确到0.01米)D45030012.如图所示,某地下车库的入口处有斜坡AB,其坡度i=1∶1.5,且AB=m.C1、本节例题学习以后,我们可以得到解直角三角形的两种基本图形:AABBCCDD2.(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化为两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的平面或截面示意图,二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形.思考:如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度为,(即tan∠PAB=)且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)2121AB水平地面CO山坡60°45°PE1、如图1,玉树地震后,抢险队派一架直升机到A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米的上空P点,测得A村的俯角为30°,B村的俯角为60°,则A、B两个村庄简的距离.2、如图2,从山顶A望地面C、D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m点C位于BD上,则山高AB.2、“村村通路工程”加快了娄底市建设社会主义新农村的步伐.如图,村村民们欲修建一条水泥公路将村与县级公路相连.在公路处测得村在北偏东60o方向,前进500米,在处测得村在北偏东30o方向.为节约资源,要求所修公路长度最短.试求符合条件的公路长度.(结果保留整数)县级公路北60o30oCBA3、若将在B处测得C村在北偏东的角度30o,改为45o,怎样求C村到公路的最短距离?北CAB