第一讲和绝对值有关的问(教师版)

第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义：(1)几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：||0aaaaaa当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。思考：|x|=|x-0|的几何意义是表示实数x到原点0的距离，那|x-a|的几何意义表示什么？三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（C）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，y0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x0，y0，则2y=8，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．1111112220072007abababab分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是1111112220072007abababab0)()(yxzyzxyxzyzx2010200818616414211)1(xx200920082009112009120081413131212120092008143132121在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1,当-1x0时，距离为x+1，当x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1x（3）结合数轴求得23xx的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析：2x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。)3(3xx即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意（4）满足341xx的x的取值范围为x-4或x-1分析：同理1x表示数轴上x与-1之间的距离，4x表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-4或x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，BA表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用例7化简分析：要化简则需要去掉绝对值符号，然后合并同类项，但本题没有限制x的取值范围，我们应当怎样去讨论呢？对于，只要考虑的正负，即可去掉绝对值符号，这里我们是分与x－2两种情况加以讨论的，此时是一个分界点。类似地，对于而言，是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点－2和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图2所示），即，，这样我们就可以分类讨论化简了。这两个分界点分别称为代数式“”和“”的“零点”，这种方法也就是所谓的“找零点分区间法”或“零点分段法”说明：在含有绝对值符号的代数式运算中，除应用“零点分段法”求解外，还可根据题意，考虑应用绝对值的几何意义来解题，将显得更加简捷便利。【拓展训练】字母a表示一个数．（1）若|a|＝a，则a是什么数？（2）若|a|＝－a，则a又是什么数？点拨：（1）|a|＝a这个式子表示是“绝对值是它本身”的数．（等式左右两边的a表示同一个数）而正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也可以是它本身，所以此时的a表示正数或零．[来源:学#科#网Z#X#X#K]（2）|a|＝－a这个等式表示的是“绝对值是它的相反数”的数．负数的绝对值是它的相反数，而对于0这个特殊的数，－0也是0，所以此题中的负数、0都是正确结果．【模拟试题】（答题时间：30分钟）A级★1、已知a，b是有理数，下列命题正确的是（）（A）若（B）若（C）若（D）若★2、已知化简的结果是（）（A）（B）（C）（D）0★★3、已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则的值是____________。★★4、若则的值是_______。B级★★5、当x取任意有理数时，代数式的值（）（A）最小是0（B）最小是2（C）最小是3（D）最小是1★★6、已知，则x的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）★★7、若则____________。★★★★8、若，则等于（）。（A）5（B）7（C）（D）[来源:学科网ZXXK]★★★★9、已知试求的值。3x0|2|)1(2aba