第一讲数形结合解题

第一讲数形结合解题兴趣篇：1、数形结合的思想。2、用长方形的面积来解决应用题。3、用面积来证明初中的公式。4、用柳卡图来解答行程问题。长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许多应用问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个量，那么面积则表示这两个量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多方便.1、用小学知识证明。a2−b2=(a+b)(a−b)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)c=ac+bc(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n212＋22＋32＋42＋……＋n2=n(n＋1)(2n＋1)÷62、46×64=3、有三组数：A组为0.60.91.5B组为3.24.32.5（1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。（2）求所有的积的和是多少。（用小学知识说明）4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每条船正好坐6人.问全班有多少人？5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。两种邮票各多少张？6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个学生家到学校有多远？7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米。乙先行1.5小时，问几小时后甲可追上乙？8、一正方形的一边减少五分之一，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形的面积相等。原正方形的边长是多少米？竞赛篇（柳卡图）1、什么是柳卡图？柳卡图解决什么问题？2、有一路电车自甲站开往乙站，每5分钟发一趟，全程要15分钟．有一人从乙站骑自行车沿电车路线去甲站，出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的电车才到甲站，到站时恰好有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站共用了多少分钟？3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米每小时，乙车的速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A，B两地之间的距离等于多少千米？4、（2009年迎春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处，甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒。5、男、女两名运动员在长360米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，在AB间往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么两人第一次迎面相遇与第二次迎面相遇的地点相距米。甲乙二人分别从A、B两地同时出发，在A、B之间往返跑步，甲每秒跑2米，乙每秒跑3米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是160米，那么A、B之间的距离是多少米？6、某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?7、幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣.乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？8、两人相约0点到1点在某地会面，先到者等候另一个人10分钟，过时就离开。假设两人等可能在0点到1点内任一时刻到达，求两个人能会面的概率。甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有________种不同的可能。如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法。）公园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购买,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.10个小朋友排队,不同的排队方法共有10!=3628800(种).问:其中有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?小学六年级数学测试题1.算式11111(97531)1226122030的计算结果是_________．2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍．3.一辆玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是无人买；第三天再降价360元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么这辆玩具汽车的进价是_________元．4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________厘米．5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187.这样的三位数是.6.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那么2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD_________．7.甲车由A地开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车速度是每小时80千米，水油乙车速度是每小时70千米．甲车在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地，这时甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两地相距_________千米．8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．小学六年级数学测试题参考答案1.算式11111(97531)1226122030的计算结果是_________．答案：310解析：11111(97531)1226122030111111111(97531)12(1)12223344556300103102.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍．答案：5解析：125个小正方体的表面积总和等于750，原大正方体表面积等于150，因此小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的5倍．3.一辆玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是无人买；第三天再降价360元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么这辆玩具汽车的进价是_________元．答案：1000解析：设进价为“1”，则第一天定价为“2”，第二天定价为“1.8”，最终售价为“1.44”．“1.8”与“1.44”的差价等于360元，可知进价“1”=1000元．4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是___厘米．答案：7解析：铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了128平方厘米，“水层”高度变成了9厘米，说明9厘米高的铁块没入水中，3厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是388192立方厘米，增加的高度是19216121厘米．因此“油层”的高度是7厘米．5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187.水油这样的三位数是.答：589和598.解:注意，所求的第一个数码是5.因为如果它小于5，那么两数的和小于1000，而如果它大于5，那么它们的和大于或等于1200.所求两数末位数码的和可以等于7或17.在第一种情况两数和最末两位为77，不对.和为17只能由数码8和9给出.由此得出两个可能的答案.6.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那么2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD_________．答案：1221解析：20111231÷101＝199121…10；所以ABCD＝1231－10＝1221．7.甲车由A地开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车速度是每小时80千米，乙车速度是每小时70千米．甲车在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地，这时甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两地相距_________千米．答案：140解析：设全长为x千米，则15708060xx，解得140x．8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．答案：288解析：如下左图，记AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三角形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．记BE=b，则CE=a，DE=a由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形（如下右bbbbaaaa弦图）．EDCBA题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此本题答案为122×2＝288平方厘米．周老师的另解连接AD，作DPBC于P.设DP=h，则由正方形计算面积得272.h三角形ABC面积=三角形BCD面积=6,h三角形ACD面积=1(122)(6).2hhhh所以(6)6.66ACDABCSDOhhhBOSh因此612DOhBDh所以三角形COD面积=2663666121212BCDhhhhShhhh3667236(12)36.1212hhhh因此阴影面积=836288（平方厘米）．