第一讲物体的平衡

第一讲物体的平衡§1.1常见的力1．1．1、力的概念和量度惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的速度不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候，应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。重力由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化）弹力物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）sF与胁变（应变）ll之间的正比例关系，如图所示E式中E为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。F=-kx式中x表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。llF图1-1-1接触反力—限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）。这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类：1、柔索类（图1-1-2）如绳索、皮带、链条等，其张力拉物体指向沿柔索方位::T一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。2、光滑面（图1-1-3）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力压物体指向沿法线方位::N3、光滑铰链物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。（1）圆柱形铰链（图1-1-4,图1-1-5，图1-1-6）由两个圆孔和一个圆柱销组成。在孔的轴线方向不承受作用力，其分力待定指向轴沿方位::xX待定指向轴沿方位::yYABCcNABNAGAGAANAA图1-1-3A图1-1-4ABC1FByF图1-1-51FAycyxcx图1-1-6GTTTT图1-1-2G图中AC杆受力如图，支座B处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图。（2）球形铰链（图1-1-7,图1-1-8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为待定指向沿坐标轴方位::ZYX4、固定端（图1-1-9，图1-1-10）如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶AM。待定指向沿坐标轴方位::YX待定转向平面力系作用面方位::AM摩擦力物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。1．1．2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为Nf0max式中0称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。FFAyAxAZA图1-1-7图1-1-8FqA图1-1-9FAAMAx图1-1-10Ay当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。Nf为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，与0可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足Nffmax在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数0略大于动摩擦因数。摩擦角令静摩擦因数0等于某一角的正切值，即tg0，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,tgNf0max。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力maxf的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力0f未达到最大值，即tgNfNfNf00000,,因此接触面反作用于物体的全反力F的作用线与面法线的夹角Nfarctg0，不会大于摩擦角，即。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块A，只有时，才可能推动A。摩擦力作用的时间因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力，所以要注NFFfm图1-1-11AF图1-1-12v图1-1-13意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为t，但可能小球不需要t时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力。如图1-1-14，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为，用一个与水平方向成多大角度的力F拉着木块匀速直线运动最省力？将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F，摩擦角为11tgNftg，这样木块受三个力：重力G，桌面对木块的作用力F和拉力F，如图1-1-14，作出力的三角形，很容易看出当F垂直于FF时最小，即有F与水平方向成1tg时最小。例1、如图1-1-15所示皮带速度为0v，物A在皮带上以速度1v垂直朝皮带边运动，试求物A所受摩擦力的方向。解：物A相对地运动速度为rrVVVV01,，滑动摩擦力f与rV方向相反如图所示。例2、物体所受全反力R与法向的夹角m的情形可能出现吗？解：不可能。因为若有m则mtgtga即Nf。maxff，这是不可能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时，可事先假定它静止，由平衡求出)(1NFtg,有如下三种情形：滑动临界状态静止mmm1F2F3F4F合F图1-1-16FNFfGFGF图1-1-14A1V0VA1V0Vf图1-1-15§1.2力的合成与分解1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则即力21FF和的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将21,FF通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即21,FF的合力。（如图1-2-1(b)）如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力4F力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即1F力矢的起步与5F力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确F1F2FF1F2F(a)(b)图1-2-1F1F2F3F4F1F2F3F4∑FF1F2F3F4F5(a)(b)(c)图1-2-2定的确答。③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。1．2．2、平面共点力系合成的解析法如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde，并在该平面取直角坐标系Oxy，作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见：xxxyyxxxxxFFFFRFFFFR43214321上式说明，合力在任意一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这也称为合力投影定理。知道了合力R的两个投影xR和yR，就不难求出合力的大小与方向了。合力R的大小为：22yxRRR合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定：xyRRtga1．2．3、平行力的合成与分解作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。两个同向平行力的合力（R）ROABF2F1ABOF1F2R(a)(b)图1-2-4xyabcdeORxF1yF4yF3yF2yF1xF2xF3xF4xFyF1F2F3F4RyxyORxR图1-2-3(a)(b)的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图1-2-4(a)，有：1221FFBOAOFFR两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：21FFR21FFOBOA1．2．4、空间中力的投影与分解力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的F力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为coscoscosFZFYaFX这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时),cos(xFFXxyxy式中xyF为F在oxy平面上的投影矢量，而),sin(ZFFFxy力沿直角坐标轴的分解式kFjFiFkZjYiXFzyx§1.3共点力作用下物体的平衡ZXYFFxyO图1-2-6YαγβjkizYXZX图1-2-51．3．1、共点力作用下物体的平衡条件几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。0iiF或其分量式：0iixF0iiyF0iizF如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：sinsinsin321FFF1．3．2、推论物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。F1F2F3图1-3-1§1.4固定转动轴物体的平衡1．4．1、力矩力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物