电动题库答案

Chapter1电磁现象的普遍规律计算、证明题1.真空中有一静电场，场中各点zeEE，试证明(1)当0时，)(zEE，即E仅是z的函数；(2)当0时，E是常矢量.【证】（1）由于zeEE，且电荷密度0，故000yxeeEExEyEzE所以，得0,0zExEyE即zeEE（2）当0时，由（1）中的结果，有00xEyEzEE所以，当0时，电场E为一常矢量，即均匀电场2.在一个半径为R的介质球内，极化强度矢量p沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离)0(00rppp，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量.【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系Rr时，00013)(pppPrrRr时，0,022Pp在Rr的球面上，极化电荷体密度RpRrrP0pep-pn12）（pP电动力学题库2由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为r的同心球面.由高斯定理dvdS01sE得，Rr0时，有0,3341400110100013021rprppEDrprErrEPPRr时，有0,00)434(142202223022pEDERRrEPP3.证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方【证】：由于磁化电流密度MJM对于线性介质，HHM)1(0mx，代入上式，得HHHJ)1()]1([)1(000M又因为是稳恒电流，故JH，所以JHJ)1()]1([00M4.在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在HES矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有0)(sHEdS【证】：利用积分变化关系dvdVS)()(HEsHE由于)()()(HEEHHE对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流0J，故0,0HE电动力学题库3代入得0(）HE所以0)(SdsHE5.电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为1、1和2、2，交界面上的电流密度分别为1J和2J，试求交界面上自由电荷面密度.【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度nnDD1212）（D-Dn由于ED且EJc，其中c为介质的电导率，所以，得到JDc代入，得nnJJ111222式中n2J、n1J是电流密度在界面处的法向分量由于电流稳恒，J满足0J，在界面上有0)(1JJn2，即nn21JJ所以界面上自由电荷面密度21JnJn)()(112211226.已知一静电场yxxxeeE22，其中是实数，设某一时刻，在),,(000zyx点沿z轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为m，电荷电量为e，注入的初速度为)(00cvv，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足yxyexeedtdmeeEr2222沿zyx、、方向的分量方程分别为电动力学题库4022222222dtzdymedtydmxmedtxdm由已知条件，0t时，zzyxvzyxeveeer000,，利用这些初始条件，解得tvzztyytxx0000coscos，式中me27.用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量c点乘上式左边得)1(][VVfcfcdVdV根据矢量分析公式)()(BABABA）（令其中的fA，cB，便得)()(fccfcf）（因此（1）式左边VVcffc）（）dVdV]([又由高斯公式有SSSSddSSdddVfScfncncfScfcfV)()()(）（所以SddVfScfcV因为c为非零的任意常矢量，故得SddVfSfV8.用斯托克斯定理证明SLSalradd2）（，式中a为常矢量.【证】由矢量分析公式有aaaraarraarra23)()()()()(VffSdSdV电动力学题库5令raF，则由斯托克斯公式LSlFSFdd和上式得SSLSaSralraddd2）（）（9.设电磁场的能量密度为)(21DHDEw，能流密度为HES.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，0twS【证】对绝缘介质来说，电导率为0，这时麦克斯韦方程为)2()1(ttDHBE由矢量分析公式)()(gfgfgf）（得)()(HEHEHES）（将（1）（2）两式代入上式得）（3)(HBDEDEHBStttt对于各向同性的介质来说，ED，HB电容率和磁导率都是常量，故有）（）（421DEEDEEEEDEttttt）（）（521BHHBHHHHBHttttt将（4）（5）两式代入（3）式便得twt）（HBDES21所以0twS10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为、电容率为的均匀介质内部自由电荷量与时间t的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在0t时刻，有自由电荷分布，电荷电动力学题库6量的密度为0；到t时刻，电荷量的密度变为，则由麦克斯韦方程组得DEjjHDD)(tttt1求解，并利用初始条件便得te0当t时，0。这表明，在静电平衡是，电导率0的均匀介质内自由电荷量密度为零.11.试由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律.【解】jjHDD)(ttt0jt12．若磁单极子存在，且静止磁荷之间的相互作用力遵守磁库仑定律221041rggF，式中1g和2g分别是两个磁单极子的磁荷.（1）试求磁荷量g的单位；（2）磁荷量为g的磁单极子处在磁场中时，它的受力公式是HFg还是BFg？（3）试写出符合磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.【解】由题给的磁库伦定律，得磁荷量的单位为秒伏库秒米牛安米牛米）安米牛牛米亨牛米米亨牛///()/(]][][[][2220rFg故得g的单位为1秒伏（2）磁库伦定律中204/rg的单位为电动力学题库7米安米亨安亨米亨秒伏米米）（亨秒伏//]][[][]4[22020rgrg这是磁场强度H的单位，故知g在磁场中的受力分析为HFg（3）磁单极子存在时的麦克斯韦方程为）（）（）（）（4321jDHjBEBDmttm式中m为磁荷量密度，mj为磁荷流密度.由电荷量守恒定律0tj知磁荷量守恒定律为0tmmj根据矢量分析公式，由（2）（3）两式得0)()(mmmjjBjBEtttm可见（1）（2）（3）（4）式是满足磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.13.在空间有互相垂直的均匀电场E和均匀磁场B，B沿x轴方向，E沿z轴方向.一电子(质量为m，电荷量为e)开始从原点出发，以速度v向y轴方向前进，如图所示.试求电子运动的轨迹.电动力学题库8【解】已知),0,0(EE)0,0,(BB0t时，)0,0,0(0r)0,,0(v0v电子的运动方程为)(22BrErdtdedtdm)1(022dtxdm)2(22dtdzeBdtydm)3(22dtdyeBeEdtzdm解（1）式并用初始条件得)4(0x这表明电子在xy平面内运动.将（2）式对时间积分，并利用初始条件得)5(mveBzdtdym将上式代入（3）式便得)(22222eBmveBmEzmBedtzdm解得)cos(02tmeBAeBmveBmEz利用初始条件定出常数A和0，便得)6()1)(cos(meBBEveBmz将上式的z代入（5）式得BmEtmeBBmEmvdtdymcos)(积分并利用初始条件得)7(sin)(tBEtmeBBEveBmy电动力学题库9（4）式、（6）式和（7）式表明，电子的轨迹是y-z平面里的一条摆线（旋轮线）.14.大平行板电容器充电后，两板板间产生一均匀电场E；另有一均匀磁场B和E垂直，如图（1）一电子(质量为m，电荷量为e)从负极板出来，初速很小，可当做零.不计重力.试证明：当两极板间的距离22BemEd时，它不可能到达正极板.【解】取坐标如图（2）电场和磁场便为)0,0,(EEB),0,0(B电子的运动方程为)1(22dtdyeBeEdtxdm)2(22dtdxeBdtydm022dtzdm将（2）式积分并利用初始条件得)3(eBxdtdym将（3）式代入(1)式得)(22222eBmExmBedtxdmBrErdtdeedtdm22电动力学题库10求解并利用初始条件得)1cos(2tmeBeBmExx的最大值为22max22BemEeBmEx（因为0e）当dxmax时，电子就不可能达到正极板.15.极子的电偶极矩为p，如图（1）所示，试求它在r处的p点所产生的电势)(r和电场强度)(rE.【解】电偶极矩p在p点产生的电势，就是它的正负电荷在p点产生的电势之和，设lpq，则它在p点产生的电势便为)11(4)(0rrqr电动力学题库11式中参看图（2）cos)2(22rllrrcos)2(22rllrr根据电偶极子的定义，lr,故上式中的2l项可略去，即)cos21(cos1cos)cos21(cos1cos22rlrrlrrlrrrlrrlrrlrr所以)cos211cos211(4)(0rlrlrqr=20204cos4cosrprql写成矢量形式即304)(rrpr这就是电偶极子产生的电势的标准形式.由)(r可求得电偶极子所产生的电场强度为)1()sincos2(4)cos(1)cos(4)cos(4)(41)(302202030eeeerprrErrrprrrrrprpr）（因为eepsincosppr故（1）式可化为5024)(3)(rrprrprE电动力学题库12这就是电偶极子产生的电场强度的标准形式.)11(4)(0rrqrChapter2静电场1.【①】设真空中的电势为)(,4)(,4)(00araQarrQr求相应的电荷分布.【答案】根据02对ar区域，014220rQ对ar区域，0)4(02020aQ由此可见电荷应分布在半径为a的球面上，设密度为，22011224)(aQrrrarar