第一讲不规则图形面积的计算(一)

奥博教育培训第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面积及周长都有相应的公式直接计算。实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例1如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。EFGABCD解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。奥博教育培训△ABG=21×10×10=50；S△BDE=21（10＋12）×12=132；S△EFG=21（12－10）×12=12。又因为S甲＋S乙=12×12＋10×10=244，所以阴影部分面积=244－（50＋132＋12）=50（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一。也就是：S四边形AECF=S△ABE=S△ADF=31×6×6=12。在△ABE中，因为AB=6，所以BE=4，同理DF=4，因此，CE=CF=2，所以△ECF的面积为2×2÷2=2。所以S△AEF=S四边形AECF－S△ECF=12－2=10（平方厘米）。例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如下图那样重合。求重合部分（阴影部分）的面积。奥博教育培训解：在等腰直角三角形ABC中，∵AB=10∴S△ABC=21×10×10=50又∵S△ABG=21S△ABC=21×50=25，∵EF=BF=AB－AF=10－6=4，∴S△BEF=21×4×4=8，∴阴影部分面积=S△ABG－S△BEF=25－8=17（平方厘米）。例4：如下图，A为△CDE的DE边上中点，BC=31CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD及△ACE的面积。FEDCBA奥博教育培训解：取BD中点F，连结AF。因为△ADF、△ABF和△ABC等底等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米。所以△ACD的面积等于15平方厘，△ABD的面积等于10平方厘米。又由于△ACE与△ACD等底等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。例5：如下图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的54。求正方形ABCD的面积。FDCEBA解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中，AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8。在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。因此，正方形面积=8×2＋8÷54×2=36（平方厘米）。例6：已知S△ABC=1，AE=ED，BD=32BC，求阴影部分的面积。奥博教育培训解：连结DF。∵AE=ED，∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，∴S阴影=S△ABF=S△BFD。∵BD=32BC，∴S△BFD=32S△BCF=32（1－S△ABF），∴S△ABF=32（1－S△ABF），∴S△ABF=52。∴阴影部分面积为52。例7：正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？HGFEDCBA解：连结AG，自A作AH垂直DG于H，在△ADG中，AD=4，奥博教育培训=4（AD上的高）。∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2=∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），∴DE=3.2（厘米）。例8：梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分的面积。EDCBA解：∵梯形面积=（上底＋下底）×高÷2即45=（AD＋BC）×6÷245=（AD＋10）×6÷2∴AD=45×2÷6－10=5米。又S△ADE=21×AD×高，即5=21×5×高，∴△ADE的高是2米，△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6－2=4米。∴S△BEC=21×BC×4=21×10×4=20（平方米）。例9：如图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它奥博教育培训们的面积相等。GFEDCBA证明：连结CE，平行四边形ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而平行四边形DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。所以，平行四边形ABCD的面积与平行四边形DEFG的面积相等。习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：4121(1)(2)12101012(3)810108(4)4466(5)22333333(6)331124奥博教育培训(7)11133(8)8435(9)11111111二、解答题：1．如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE。求阴影部分的面积。CDFGBEA2．如图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米。求四边形CMGN（阴影部分）的面积。MNGFEDCBA奥博教育培训．正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米。求CE的长。FEDCBA4．如下图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4。求三角形ABE的面积。FEDCBA5．直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积。BCEDFA奥博教育培训．如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。求长方形的长、宽各是多少？7．如下图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米，求原三角形面积。8．如下图，平行四边形ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10。求CF的长。CBDFEGA