第一讲巧算的经典类型和方法

1第一讲巧算的类型与方法随着数学竞赛的蓬勃发展，数值计算充满了活力，除了遵循四则混合运算的运算顺序外，破局部考虑、立整体分析，巧妙、灵活地运用定律和方法，对处理一些貌似复杂的计算题常常有事半功倍的效果，常见的巧算方法有以下十种。一、凑整法运算定律是巧算的支架，是巧算的理论依据，根据式题的特征，应用定律和性质“凑整”运算数据，能使计算比较简便。1、加法“凑整”。利用加法交换律、结合律“凑整”，例如：4673＋27689＋5327＋22311=（4673＋5327）＋（27689＋22311）=10000＋50000=600002、减法“凑整”。利用减法性质“凑整”，例如：50－13－7=50－（13＋7）=303、乘法“凑整”。利用乘法交换律、结合律、分配律“凑整”，例如：125×4×8×25×78=（125×8）×（4×25）×78=1000×100×78=78000004、补充数“凑整”。末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100-2）、（50＋1）等来代替，使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫做98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，例如：（1）387＋99=387＋（100-1）=387＋100-1=486（2）1680-89=1680-（100-11）=1680-100+11=1580+11=1591（3）69×101=69×（100+1）=6900+69=6969（4）计算：11353715【分析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和。2原式1135373511351115(113111)510（5）计算：199.919.98199.819.97原式199.919.9819.98199.719.98(199.9199.7)19.980.23.996二、约分法根据式题结构，采用约分，能使计算比较简便。例如：例：1684126384242196124729348622431=________________原式=9)432(1421)432(12431333333三、基数法根据数据特征，从诸多数中选择一个做计算基础的数，通过“割”、“补”，采用“以乘代加”的方法速算。例如：17＋18＋16＋17＋14＋19＋13＋14（解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。）=17×8＋1-1-3＋2-4-3=17×8-8=128练习：某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量四、公式法等差数列，是指每两个相邻的数之间差都相等的数列。等差数列求和，可以用公式：和=（首项+尾项）×项数÷2。例如：例113＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22=（13＋22）×10÷2=175另外，如果加数的项数是奇数个，也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘以项数，去求它们的和。例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋193=11（中间项）×9（项数）=99例211＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）练习：3＋10＋17＋24＋…＋101五、变形法恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。例如：1、计算9999×2222＋3333×3334（此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.）9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝333300002、（将分子部分变形，可以使运算简便。）43、六、图形法用长方形的长表示一个因数，用长方形的宽表示另一个因数，再用长方形的面积图进行分析，形象直观，新颖别致。例如：9876×9876-9875×9877如上图，9876×9876为正方形面积，9875×9877为长方形面积，所以，9876×9876-9875×9877等于正方形面积减去长方形面积，即下边小长方形面积减去右边小长方形面积：原式＝9876×1-9875×1＝1七、分组法一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。例如：（观察题中给出的数据特点，应该将小括号去掉，然后适当分组，这样可使运算简便。）八、裂项法裂项法是根据题目的运算符号及数字特点，把题中的某些项拆成几个数的和（差）,或几个数的积（商），然后再利用运算定律和性质进行简算。例如：51、计算1×2+2×3+3×4＋……＋10×112、3、42133011209127657653原式=61515141413131217653=4九、代换法在计算中常常把几个数的运算式子作为一个整体参与其他运算，这是一种代换的思想，例如：例1、19991312120001312112000131211999131211【解】设=a那么原式=(a+1)(a+1/2000)-a(a+1+1/2000)=1/2000练习：十、扩缩法在解决求整数部分的问题时，常用的方法是把它扩大或缩小，求出这个数的范围，最后确定它的整数部分。例如：61、要是先计算出正确的结果，再回答整数部分是多少，那可不是简单的计算。观察这个式子中的除数，假设除数中的每个分数都是20分之1，那么除数是再假设除数中的每个分数都是39分之1，那么除数是式子的整数部分就是1了。练习：十一、位置原理巧算100171113abcabcabcabc；10101371337ababababab；1、2007×20062006-2006×20072007=____2、计算:123234345456567678789原式(1234567)100(2345678)10(3456789)28003504231923、计算：20072007200722302230223[分析]原式(2007100010001)(223100010001)200722394、计算：333332332333332333333332【分析】原式333(3323323321)332(3333333331)333(33210010011)332(33310010011)33333266575、1202505051313131321212121212121212121【分析】原式=121015101011310101011251312121101211010121101010121212121。速算与巧算1.计算：9011772115561134211130192017121561312.计算：66123455612344561233456122345611234563.计算：1994199419921993199319944.计算：4131215141312115141312141312115.计算：1994...109876543216.计算：472636472634472635472633472635472634227.计算：99119911...3113112112118.计算：10...219...2110...4321321432121321121