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2.2.2向量减法运算及其几何意义考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量加减法运算的综合2、3、46用已知向量表示其他向量112向量加、减法运算的应用7、8、9、1113相反向量及运用5101．四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：DC→＝DA→＋AB→＋BC→＝－AD→＋AB→＋BC→＝a－b＋c.答案：A2．如图在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB→＝DC→B.AD→＋AB→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0解析：AB→－AD→＝DB→，故C项错．答案：C3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()A．5B．4C．3D．2解析：依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.答案：A4.如图，AB→＋BC→－AD→等于()A.AD→B.DC→C.DB→D.AB→解析：AB→＋BC→－AD→＝AB→－AD→＋BC→＝DB→＋BC→＝DC→.答案：B5．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量C．a＝－bD．a，b无论什么关系均可解析：当a与b不共线时，一定有|a＋b|＜|a|＋|b|；当a与b共线且同向时，有|a＋b|＝|a|＋|b|.选A.答案：A6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA→－BC→－OA→＋OD→＋DA→＝________.解析：由题图知BA→－BC→－OA→＋OD→＋DA→＝CA→－OA→＋OA→＝CA→.答案：CA→7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量AB→－CB→＋CD→的模．解：如图，∵AB→－CB→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→，∴|AB→－CB→＋CD→|＝|AD→|＝2.8．平面内有四边形ABCD和点O，若OA→＋OC→＝OB→＋OD→，则四边形ABCD的形状是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形解析：因为OA→＋OC→＝OB→＋OD→，所以OA→－OB→＝OD→－OC→，即BA→＝CD→.又A，B，C，D四点不共线，所以|BA→|＝|CD→|，且BA∥CD.故四边形ABCD为平行四边形．答案：B9．若O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：如下图，以OB→，OC→为邻边作平行四边形OBDC，则OD→＝OB→＋OC→，又OA→＋OB→＋OC→＝0.∴OB→＋OC→＝－OA→.∴OD→＝－OA→.∴A，O，D三点共线．设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线．同理可证BO，CO都在△ABC的中线上，∴O是△ABC的重心．答案：C10．给出以下五个命题：①|a|＝|b|，则a＝b；②任一非零向量的方向都是唯一的；③|a|－|b|＜|a＋b|；④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；⑤已知A，B，C是平面上任意三点，则AB→＋BC→＋CA→＝0.其中正确的命题是________．(填序号)解析：由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；若b＝0，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确，其他均正确．答案：②④⑤11．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，先用a，b表示向量AC→和DB→，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？解：由向量加法的平行四边形法则，得AC→＝a＋b，DB→＝AB→－AD→＝a－b.当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．12．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，CM→＝a，CA→＝b.求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.证明：如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，有|CM→|＝|AM→|，|CA→|＝|CB→|.(1)在△ACM中，AM→＝CM→－CA→＝a－b.于是由|AM→|＝|CM→|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，MB→＝AM→＝a－b，所以CB→＝MB→－MC→＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|CB→|＝|CA→|，得|a＋(a－b)|＝|b|.13．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，判断△ABC的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．PD→＝a＋c＝－b.所以∠APC＝120°.同理：∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量AB→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．