第七单元数列的求和极限数学归纳法

1第七单元数列的求和、极限、数学归纳法一.选择题(1)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=3，S8=7，则S12的值是()A8B11C12D15(2)已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（）A0B3C3D23(3)数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1+…)的前n项和是()A2nB2n-2C2n+1-n-2Dn·2n(4)从集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有()A20个B40个C10个D120个(5)limn2123nn＝()A2B4C21D0(6)如果128,,,aaa为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()A5481aaaaB5481aaaaC1845aaaaD5481aaaa(7)已知等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,若1223nnTSnn,则limnbnba的值是()A32B26C23D49(8)limnnnnnnnCCCC22212210的值是()A51B41C21D31(9)已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则2)111(12312limnnnaaaaaa=()A2B23C1D21(10)已知数列nx满足122xx,1212nnnxxx,3,4,n….若lim2nnx,则()Ａ32Ｂ３Ｃ４Ｄ５二.填空题(11)在等差数列｛an｝中，a1＞0，a5=3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n=.(12)在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S19=31，S31=19，则S50的值是______(13)在等比数列｛an｝中，若a9·a11=4，则数列｛na21log｝前19项之和为_______(14)若a0,且a≠1,则limnnnaa123的值是.三.解答题(15)设数列{an}的首项a1=a≠41，且11为偶数21为奇数4nnnanaan,记2114nnba，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求123lim()nnbbbb3(16)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）2462naaaa的值.(17)已知{na}是公比为q的等比数列，且231,,aaa成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{nb}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由..(18)已知定义在R上的函数)(xf和数列}{na满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,aanafaaann，)...,4,3,2)(()()(11naakafafnnnn，其中a为常数，k为非零常数.（Ⅰ）令nnnaab1*)(Nn，证明数列}{nb是等比数列；4（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）当1||k时，求nnalim.参考答案一选择题:1.C[解析]：∵｛an｝等差数列，∴2(S8－S4)=S4＋(S12－S8)，且S4=3，S8=7，则S12=122.B[解析]：已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则,0,3,3432aaa有规律的重复了，故20a=3。3.C[解析]：∵(1+2+22+…+2n-1)=2n－1∴数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1+…)的前n项和为：（2－1）+(22－1)+…+(2n－1)=2n+1-n-24.B[解析]：当公差d为正时，若d=1，则这样的等差数列有8个若d=2，则这样的等差数列有6个若d=3，则这样的等差数列有4个若d=4，则这样的等差数列有2个共有20个当公差d为负时，也有20个。5.C[解析]：2123nn=22)1(nnn=222121nnn6.B5[解析]：因为128,,,aaa为各项都大于零的等差数列，公差0d故2121115412111817)4)(3(,7)7(ddaadadaaadaadaaaa故5481aaaa7.C[解析]：因为等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,则nnnnnnnnbabnanbbnaanTS2)2)(12(2)2)(12(2))(12(2))(12(121121若1223nnTSnn,则limnbnba=limn1223nn=238.C[解析]：nnnnnnnnnCCCC)21(211222221122109.C[解析]：因为数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，∴故设log2(an+1－1)－log2(an－1)=d又a1＝3，a2＝5，故d=1∴2111nnaa,故{an－1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an－1=2n，∴an=2n＋1，∴an+1－an=2n)111(12312nnaaaaaa=nn2112121212则)111(12312limnnnaaaaaa=110.B[解析]：因为数列nx满足122xx,1212nnnxxx,3,4,n….6则12113)2121()2(21xxxx134)2121(xx，1345)212121(xx，1356)212121(xx13567)21212121(xx……故nlim113241121xxxn又lim2nnx，故31x二填空题:11.7或8[解析]：在等差数列｛an｝中，a1＞0，∵a5=3a7，∴a1＋4d=3(a1＋6d)∴a1=d7∴Sn=n(d7)＋2)1(nnd=)15(22nnd，∴n=7或8时，Sn取得最大值。12.－50[解析]：在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，S19=19a1＋19×9dS31=31a1＋31×15dS31－S19=12a1＋12×d249又S19=31，S31=19，故a1＋d249=－1S50=－5013.－19[解析]：由题意an0,且a1·a19=a2·a18=…=a9·a11=210a又a9·a11=4，故1921aaa=1927故121loga221loga+…+1921loga=19)(log192121aaa14.-2(a1时);3(0a1时).[解析]：当0a1时，limnan=0,此时，limnnnaa123=3，：当a1时,limnna)1(=0，此时limnnnaa123=limn21)1(2)1(3nnaa三解答题(15)解（I）a2＝a1+41=a+41，a3=21a2=21a+81；（II）∵a4=a3+41=21a+83,所以a5=21a4=41a+316,所以b1=a1－41=a－41,b2=a3－41=21(a－41),b3=a5－41=41(a－41),猜想：{bn}是公比为21的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－41=21a2n－41=21(a2n－1－41)=21bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－41,公比为21的等比数列·（III）11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba(16)解（I）由a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，得211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n≥2），得143nnaa（n≥2），8又a2=31，所以an=214()33n(n≥2),∴数列{an}的通项公式为21114()233nnnan≥；（II）由（I）可知242,,,naaa是首项为31，公比为24()3项数为n的等比数列，∴2462naaaa=22241()1343[()1]43731()3nn(17)解（Ⅰ）由题设,2,21121213qaaqaaaa即.012,021qqa.211或q（Ⅱ）若.2312)1(2,12nnnnnSqn则当.02)2)(1(,21nnSbSnnnn时故.nnbS若.49)21(2)1(2,212nnnnnSqn则当,4)10)(1(,21nnSbSnnnn时故对于.,11;,10;,92,nnnnnnbSnbSnbSnNn时当时当时当(18)（Ⅰ）证明：由0121aab，可得0)()()(1212232aakafafaab.由数学归纳法可证01nnnaab*)(Nn.由题设条件，当2n时111nnnnnnaaaabb11)()(nnnnaaafafkaaaaknnnn11)(因此，数列}{nb是一个公比为k的等比数列.（Ⅱ）解：由（1）知，*))((12111nnaakbkbnnn当1k时，)2(11)(...112121nkkaabbbnn当1k时，))(1(...12121aanbbbn)2(n.而112312121)(...)()(...aaaaaaaabbbnnnn)2(n9所以，当1k时,kkaaaann11)(1121)2(n.上式对1n也成立.所以，数列}{na的通项公式为*)(11))((1Nnkkaafaann.当1k时))(1(121aanaan)2(n。上式对1n也成立，所以，数列}{na的通项公式为))()(1(aafnaan*)(Nn，（Ⅲ）解：当1||k时,]11))(([limlim1kkaafaannnnkaafa1)(.