无套利原理的应用主要内容无套利原理远期和期权的合约价值讨论远期价格投资资产消费资产期权价格的上下限无红利情形有红利情形二元期权(binary)现金或无价值Call(Cash-or-nothingCall):到期收益为VT=R,当STK时;VT=0,当STK时.资产或无价值Call(Asset-or-nothingCall):VT=ST,当STK时;VT=0,当STK时.C0=VA-KVC贷款的价值(1)考虑一笔1年期贷款,到期还款数额为B。借款企业在一年内用该笔贷款进行投资生产,在贷款到期日,银行的收益如右图企业资产V银行收益BACB贷款的价值(2)银行放贷后,其在到期日的收益和某看跌期权收益相似。设企业的资产价值为V,则在贷款到期日T,贷款的价值=银行的收益,即银行的收益=min{VT,B}=B-max{B-VT,0}=B-(B-VT)+贷款的价值(3)由无套利原理可得,该笔贷款t时刻的价值=Be-r(T-t)–P(V,t;B,T),这里P(V,t;B,T)表示标的资产为V,敲定价格为B,到期日为T的欧式看跌期权在t时刻的价值.P(V,t;B,T)度量了贷款的信用风险。公司股权的价值假设公司只有一笔负债,且到期偿付金额为D;公司资产(V)=股东权益(E)+负债(D);在债务到期日,股权价值为当VTD时,ET=VT–D;当VTD时,ET=0;即,ET=(VT–D)+远期合约和期权合约价值的讨论两种合约在签定时的价值为0,在签定后,合约的价值可正可负,这主要取决于原生资产价格的变动。两种合约的签定双方在交割日都必须履行协议内容,不考虑信用风险。利率是常值或是时间的确定函数时,远期价格等于期货价格。远期合约与期货投资资产的远期价格-例考虑一个有效期为3个月的不支付红利的股票远期合约。股票当前价格$40,3个月期的无风险利率为5%(年利率),$40三个月后值40e0.05/4=$40.50。若该合约远期价格为$43,是否有套利机会?若该合约远期价格为$39,是否有套利机会?多头方有套利机会空头方有套利机会远期价格为$43时的套利机会策略1:以5%的年利率借入$40,买入股票,同时卖出3个月期的远期合约(远期价格为$43)。3个月到期后,该策略的收益为$(43-40.5)=$2.5$2.5是在策略投资人不用任何投入的情况下,获得的无风险收益。远期价格为$39时的套利机会策略2:卖空股票获得$40,存入银行,同时买入一份3个月期的股票远期合约(远期价格$39)。3个月到期后,该策略的收益为$(40.50-39)=$1.5。同样,$1.5是该策略所得的无风险收益。基本假设市场无套利。若出现套利机会,参与者必将参与套利活动;市场参与者交易无交易费用;市场参与者的所有净交易利润使用同一税率;市场参与者可以以相同的无风险利率借入和贷出资金;市场中允许卖空操作。符号T远期或期货合约的到期时刻;S0合约中标的资产当前的价格;F0当前的远期或期货价格;r对交割日到期的一项投资而言,以连续复利计算的零息票无风险利率。投资资产的远期价格在有效期内,不支付收益证券的远期合约的远期价格为F0=S0exp{rT}(1)在有效期内,已知红利或利息收益的现值为I,相应远期合约的远期价格为F0=(S0-I)exp{rT}(2)在有效期内,标的证券红利率为q,其远期合约的远期价格为F0=S0exp{(r-q)T}(3)现货-远期平价公式构造策略投资策略1:以利率r借$S0购买股票,并持有到T时刻,到期收益=ST-S0exp{rT}.投资策略2:初始时刻持有股票远期多头,到期日T,远期价格为F0,到期收益=ST-F0.两个投资策略在T时刻都是持有股票ST,故收益应相等,否则存在套利机会。远期外汇协议远期外汇协议是以某种外汇为标的资产,双方约定在未来某一时间按约定的远期汇率买卖一定金融该种外汇的合约。利率平价关系:若rfr,则远期汇率小于现货汇率,即外汇远期贴水;若rfr,则远期汇率大于现货汇率,即外汇远期升水。其中rf是外汇发行国的无风险利率。f(r-r)(T-t)ttF=Se持有成本(CostofCarry)持有成本=保存成本+利息成本-标的证券合约期内收益。不支付红利的证券没有保存成本和收益,故持有成本是r;支付红利的证券,如股指,持有成本是r–q;外币的持有成本是r-rf。若远期(期货)定价中的持有成本为c,则Ft=Stec(T-t)。有效期内远期合约的价值Vt表示t时刻远期合约多头的价值Ft表示在t时刻新签的到期日为T的远期合约中的远期价格St表示t时刻标的资产价格由公式(1)知,Ft=Stexp{r(T-t)}于是Vt=St-F0exp{-r(T-t)}=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}Tt0STFtF0如何得到?t时刻构造两个投资组合组合1:持有一个股票远期合约的多头(到期日为T,远期价格为F0),t时刻的价值为Vt,同时持有现金F0exp{-r(T-t)};组合2:持有一只该股票,t时刻价格为St两个组合在T时刻的价值相等,都是拥有一只该股票。续由于市场是无套利的,故T时刻之前的任何时刻,两组合的价值都应该相等,即Vt+F0exp{-r(T-t)}=StVt=St-F0exp{-r(T-t)}Vt=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}远期价格的期限结构考虑:相同标的资产,不同到期期限的远期价格间的关系。F0为到期日为T的远期价格,F0=S0exp{rT}F*0为到期日为T*的远期价格,F*0=S0exp{r*T*}r为[0,T]内的无风险利率;r*为[0,T*]内的无风险利率。于是有F*0=F0exp{r*T*-rT};F*t=Ftexp{r*(T*-t)-r(T-t)}。远期利率协议(FRA)远期利率协议(FRA)是买卖双方同意从未来某一确定时刻T开始的一定时期[T,T*]内按协议利率借贷一笔数额确定并以具体货币表示的名义本金的协议。远期协议利率也称为远期利率,记为rF其中r是[t,T]内的即期利率,r*为[t,T*]内的即期利率。(*)*(*)()FrTTrTtrTt练习已知3个月期和6个月期的无风险利率分别为3.8%和4%,以某不支付红利的股票为标的资产的3个月远期合约的远期价格为$20,6个月期的远期价格为$21,那么该如何进行套利操作?6个月远期价格为20.21.因此,持有6个月远期的空头,持有3个月远期的多头。3个月后借钱20执行多头;6个月后执行空头,获益21-20(1+2%-0.95%)=0.79摩擦市场的定价-存在交易成本假定标的资产每笔交易的费率为Y,那么不存在套利机会的远期价格区间为期初:持有远期多头且卖空S;期末:执行远期并还S。期末收益=(1-Y)Sexp{r(T-t)}-F;期初:持有远期空头且借钱买S;期末:执行远期并还钱。期末收益=F-(1+Y)Sexp{r(T-t)}。()()[(1),(1)]rTtrTtttSYeSYe摩擦市场的定价-存在借贷利差用rb表示借入利率,用rl表示借出利率,显然rbrl。这时远期和期货的价格区间为对于远期多头,期初卖空S,期末执行远期还S,则收益=Sexp{rl(T-t)}-F;对于远期空头,期初借钱买入S,期末执行远期还钱,则收益=F-Sexp{rb(T-t)}。()()[,]lbrTtrTtttSeSe摩擦市场的定价-存在卖空限制因为卖空会给经纪人带来很大风险,所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设卖空限制增加的成本比例为X,那么远期和期货价格区间为注意,卖空出现在持有远期多头的情形,对于远期空头方不受影响。()()[(1),]rTtrTtttXSeSe非完美市场的定价公式如果上述三种情况同时存在,远期和期货价格区间为:完美市场可以看成是X=0,Y=0,rb=rl=r的特殊情况。()()[(1)(1),(1)]lbrTtrTtttXSYeSYe消费资产消费资产主要是为了进行消费而持有的资产。消费资产的使用者认为持有实实在在的商品要比持有期货或远期合约更有好处。投资资产是众多投资者仅为了进行投资而持有的资产。只要有利可图,这些投资者会卖出他们的持有物并买入远期。消费商品的远期价格消费商品(石油,玉米)一般不支付收益,但会有很大的贮存成本。设成本现值为U。如果某消费商品的远期价格F0满足F0(S0+U)exp{rT},那么市场上存在套利机会。因此,对于消费类商品的远期价格应满足F0(S0+U)exp{rT}。Short:借钱买入S并交纳存储费,同时持有远期空头对于投资资产的远期这时也存在套利机会:卖出S并持有远期多头。便利收益对于消费类商品,通过持有现货,即实际商品可以使生产商从暂时的当地商品短缺中获利,或者具有维持生产线运行的能力。这种持有实际商品现货带来的好处称为商品的便利收益。如果已知贮存成本的现值U,那么使得F0exp{gT}=(S0+U)exp{rT}成立的g,就定义为便利收益。期限结构设F1和F2是基于同一种商品的两份期货,到期日分别为T1和T2,且T2T1,则F2F1exp{r(T2-T1)}。否则,F2F1exp(r(T2-T1))。这时持有到期为T1的多头,和到期T2的空头。在T1时借F1买入商品并持有到T2;在T2时用商品换成F2,并还钱F1exp(r(T2-T1)),套利出现。T1T20练习黄金的现价为每盎司$1100,一年后交割的黄金远期价格为每盎司$1300。一位套利者可以10%的年利率借到钱。问:套利者该如何操作才能获利?假设黄金本身不产生收入,储存费用为U且到期支付。总结由现货-远期平价公式知远期(期货)与现货的相对价格只与持有成本有关,与预期未来现货的涨跌无关。标的资产的现货价格对同一时刻的远期(期货)价格有重要的制约关系。理论上远期(期货)价格取决于现货价格,但在实际中体现为远期(期货)价格与现货价格同时对新信息做出反应。实证表明远期(期货)价格有价格发现功能。期权价格的性质期权价格的上限看涨期权在任何情况下,其价值都不会超过股票的价值,即c0S0,C0S0看跌期权在任何情况下,其价值都不会超过敲定价格K的现值,即p0Ke-rT,P0Kc和p表示欧式期权,C和P表示美式期权。否则,卖出C买入S否则,卖出P并存入银行欧式期权价值的估计对[0,T)中的任意时刻t,有(St–Ke-r(T-t))+ctSt(Ke-r(T-t)-St)+ptKe-r(T-t)平价公式(call-putparity)ct+Ke-r(T-t)=pt+St,对[0,T]中的所有时刻t都成立。不支付红利:Put-CallParity考虑下面两个投资组合组合1:买欧式看涨,买面值为K的零息贴现债券;组合2:买欧式看跌和标的股票。在到期日,两个组合的价值都是max(ST,K)由无套利原理II知,c0+Ke-rT=p0+S0欧式看涨期权--套利机会?设c0=$3S0=$20T=1年r=10%(年利率)K=$18D=0(不支付红利)是否存在套利机会?(e-0.1=0.9048;18e-0.1=16.2871;17e0.1=18.79)由于c0S0-Ke-rT,故存在套利机会:初始时刻,卖空股票获$20,同时买call花费$3,去掉花费将$17存入银行一年,到期17e0.1=18.79;一年后,S18,执行call,买入股票并偿还。总收益≥18.79-18=$0.79。欧式看跌期权--套利机会?设p0=$1S0=$37T=0.5年r=5%(年利率)K=$40D=0(不支付红利)是否存在套利机会?(e0.025=1.0253;40e-0.025=39.0124;38e0.025=38.9614)由于p0Ke-rT-S0,故存在套利机会