第七章一元二次方程导学案

第七章一元二次方程7.1一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：一、自学课本导图，走进一元二次方程（1）.分析：如果设花边的宽为x米，那么地毯中央矩形图案的长为米，宽为____________,可列方程（2）.分析：如果设五个连续整数中的第一个为x，那么后面四个数依次可以表示为______,______,_______,________.可得方程____________（3）.由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙___________米，如果设梯子底端沿地面向外滑动x米，那么滑动后梯子底端距墙_________米，可得方程________.1.整理上述三个方程，你发现他们有什么共同特点？2.类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。___________________________________________________________________3.一元二次方程的一般形式可以表示为____________________________,其中___________________________分别被称为一元二次方程的二次项，一次项和常数项，_________________分别称为二次项系数和一次项系数。二、预习检测1、判断下列方程是否为一元二次方程。2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）8142x（2）)2(5)1(3xxx三、合作探究1、课本随堂练习12、课本习题7.1第3题四、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？五、达标测评（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122xx（）（2）0522yx()(3)02cbxax（）(4)07142xx()2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412xxx±1±2；（2）0822xx±2，±4（B）1、把方程pqnxmxnxmx22()0nm化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。2、要使02)1()1(1xkxkk是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x的一元二次方程043)2(22mxxm有一个解是0，求m的值。7.2用配方法解一元二次方程第2课时学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。导学流程一、自主学习自学教科书例4，完成填空。二、精讲点拨上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练：配方.填空：（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；（3）x2＋23x＋（）＝（x＋）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________三、合作交流1、用配方法解下列方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.（2）移项，得x2＋3x＝－1.2、总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？四、深入探究用配方法解下列方程：（1）011242xx（2）03232xx这两道题与前面的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。五、课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理）七、达标测评（A）用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0（2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=67.3用公式法解一元二次方程第1课时学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。导学流程一、知识连接：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;二、合作探究，推导公式1、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.ax2＋bx＋c＝0(a≠0).由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：2、师点拨：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.三、合作交流b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？四、例题解析(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；五、巩固练习1、做一做：(1)方程2x2-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）(2)方程(2x-1)2=-4中，a=（）,b=（）,c=（）.2、应用公式法解下列方程:(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.六、课堂小结x＝aacbb242(b2－4ac≥0)1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？七、达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0；(2)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).第2课时学习目标1、了解什么是一元二次方程根的判别式；2、知道一元二次方程根的判别式的应用。重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。导学流程复习引入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：①当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.精讲点拨这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；合作交流方程根的判别式应用1、不解方程，判断方程根的情况。（1）x2＋2x－8＝0；（2）3x2＝4x－1；（3）x（3x－2）－6x2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿拓展提高应用判别式来确定方程中的待定系数。（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿因为方程有两个相等的实数根所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿这时方程的根ｘ＝（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？课堂小结1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？2、列举一元二次方程根的判别式的用途。达标测评（A）1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2＋1＝0B.x2+x-1＝0C.x2+2x＋3＝0D.4x2-4x＋1＝03、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（）A.k＜41B.k＞41C.k≤41D.k≥414、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（）A.k＜21B.k＞21C.k≤21D.k≥21（B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.第3课时学习目标1、掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。2、通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。导学流程复习引入1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的解法有几种？3、如何判断一元二次方程根的情况？4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？探究新知1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？（1）2x－2x＝0；（2）2x＋3x－4＝0；（3）22x－5x-7＝0．方程1x2x21xx21xx2x－2x＝02x＋3x－4＝022x－5x-7＝02、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是1x、2x，则21xx=，21xx=，并加以证明。（学生分组交流、讨论，然后归纳总结）精讲点拨应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=aacbb242，可以分别求出21xx与21xx的值。一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根x1、x2，那么：21xx=-ab，21xx=ac.这就是一元二次方程根与系数的关系。反馈练习1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？①2y-3y+1=0②32x-2x=2③22x+3x=0④4p(p-1)=32、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（）。A、两根的积是-5；B、两根的和是5；C、两根的和是4；D、以上答案都不对3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p=;q=.思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？拓展提高1、已知、是方程22x+3x-4=0的两个实数根，则++的值是。2、已知反比例函数xaby，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a2x－2x＋b＝0的根的情况是（）。A、有两个正根；B、有两个负根；C、有一个正根，一个负根；D、没有实数根。3、已知关于x的方程（k-1）2x+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根1x、2x.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。课堂小结1、一元二次方程根与系数的关系是什么？2、使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？达标检测（A）1、已知1x、2x是方程2x-x-3=0的两个实数根，则21xx=,21xx=.2、若方