第七章不等式

1专题——不等式(复习课)复习目标：1.不等关系:了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4.基本不等式：a＋b2≥ab(a，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．教学策略：1．在复习中要深刻理解不等式的基本性质，在不等式变形中严格按照其性质进行，熟练掌握不等式的解法，分类讨论、换元、数形结合是解不等式的常用方法．2．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法，在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．3．不等式应用问题体现了一定的综合性，这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．4．不等式与函数一样，综合性极强，高考时有关不等式的解答题通常都安排在比较靠后的位置，甚至很多是压轴题，虽然如此，在高考复习时还是要控制难度，以免做无用功.教学手段：利用多媒体，开展讲—练—导教学知识网络：2不等式的性质（2课时）重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题．难点：用不等式(组)正确表示不等关系，要求理解不等式的基本性质，并能解决一些简单的问题．典例精析题型一比较两个式子(或数)的大小【例1】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)(x－3)2与(x－2)(x－4)；(2)当x＞1时，x3与x2－x＋1；(3)7＋10与2＋13.【思路分析】(1)(2)可直接利用作差法比较大小；(3)应先平方再作差比较大小．【解析】(1)(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)．(2)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，因为x＞1，所以x3－(x2－x＋1)＞0，所以当x＞1时，x3＞x2－x＋1.(3)因为7＋10＞0，2＋13＞0，且(7＋10)2－(2＋13)2＝270－413＝270－252＞0，所以7＋10＞2＋13.【方法归纳】比较两个代数式的大小，通常采用作差比较法，当两个代数式都有根号，作差后不好变形时，可以作平方差，但要注意只有两个代数式同号时，才可以作平方差比较大小，否则要先将两代数式变形后再比较．【举一反三】1.已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小．【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，当a＞0，a≠1时，P＞Q.题型二确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【思路分析】根据已知不等关系，按照不等式性质进行变形得出结果．【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，3所以－π2≤α－β2＜0，综上，－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围．【方法归纳】在利用不等式基本性质求范围时，一定要强调不等式性质中条件的作用，不等式的两边同乘以(或除以)一个含有字母的式子时，一定要知道它的值是正还是负，并且不能为零，才能得到正确结论．同向不等式只能相加，不能相减．【举一反三】2若1a2，-3b1，求a－b的取值范围题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②ca＞db；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【思路分析】这类开放性问题，可以把其中两个不等式作条件，利用不等式的性质，讨论是否能推得另一个不等式，即可判断正误．【解析】能组成3个正确命题．对不等式②作等价变形：ca＞db⇔bc－adab＞0.(1)由ab＞0，bc＞ad⇒bc－adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab＞0，bc－adab＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；(3)由bc－ad＞0，bc－adab＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题．【方法归纳】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形．【举一反三】3.、a、b、c、d均为实数，使不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是(只要写出符合条件的一组即可)．【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3)．故(2，1，－3，－2)是符合要求的一组值．体验高考(2011浙江)若a，b为实数，则“0ab1”是“a1b或b1a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当0ab1时，若b0，则有a1b；若b0，则a0，从而有b1a.故“0ab1”是“a1b或b1a”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a1b或b1a，但ab0.故选A.【举一反三】(2011大纲全国)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条4件是(A)A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3【解析】由ab＋1得ab＋1b，即ab，而由ab不能得出ab＋1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab＋1，故选A.课堂小结：用不等式(组)研究含有不等关系的问题作业布置：分发练习——不等式适应练习板书设计例题讲解练习6．2简单不等式的解法（2课时）考点诠释重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，结合相应的二次函数图象求解不等式，体现数形结合的思想．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】(1)解不等式x2－2x－3＞0；(2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(∁RA)∩B.【思路分析】解出相应的一元二次方程的根，再结合相应的二次函数图象写出一元二次不等式的解集．【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}．(2)因为A＝{x|13＜x＜2}，∁RA＝{x|x≤13或x≥2}，B＝{x|x≤－12或x≥1}，所以A∪B＝{x|x≤－12或x＞13}，(∁RA)∩B＝{x|x≤－12或x≥2}．【方法归纳】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意互相转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．对于Δ＞0的不等式的解集简记为“大于取两端，小于取中间”．【举一反三】1.设函数f(x)＝－2（x＞0），x2＋bx＋c（x≤0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(C)A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)D．[－3，＋∞)【解析】由已知当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－4)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－b2＝－2⇒b＝4.又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝－2（x＞0），x2＋4x＋4（x≤0）.5因此f(x)≤1⇔－2≤1，x＞0或x≤0，x2＋4x＋4≤1，解得不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】不等式f(x)=x2_x-c的解集为{x|-2x1}，求a、c【思路分析】由根与系数的关系进行求解【解析】据题意知，2-,-12-1aca得a=-1c=-2【举一反三】2若关于x的不等式mxxx221-2的解集为{x|0x＜2},求实数m题型三含参数的一元二次不等式恒成立问题【例3】当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－10的解集是全体实数．【思路分析】若ax2＋bx＋c0恒成立，则先考虑a＝0的情形，然后按照求解．【解析】①当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－35a1.②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－10，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－10，即x12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35a≤1时，原不等式的解集为全体实数．【方法归纳】(1)解决恒成立问题一定要弄清楚哪个是自变量，哪个是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．【举一反三】3.已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－∞，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．体验高考（上海高考）不等式13xx的解为。【答案】0x或12x【举一反三】(2011江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为(C)A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)6【解析】f′(x)＝2x－2－4x＝2（x2－x－2）x，则f′(x)0，也就是2（x2－x－2）x0，得－1x0或x2，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以不等式的解集为(2，＋∞)，故选C.课堂小结：关于一元二次不等式模型，结合相应的二次函数图象求解不等式，体现数形结合的思想．作业布置：配发的练习第二节板书设计例题讲解练习6．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（2课时）重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)，用平面区域表示二元一次不等式(组)．难点：二元一次不等式表示平面区域的探究过程．典例精析题型一二元一次不等式(组)表示平面区域【例1】(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)如图，△ABC中，A(0，1)，B(－2，2)，C(2，6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．【思路分析】(1)分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分；(2)先由两点式分别求出直线AB、AC、BC的方程，然后写出不等式组．【解析】(1)不等式x＜3表示x＝3左侧点的集合．不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方点的集合．不等式3x＋2y≥6表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．不等式3yx＋9表示直线3y－x－9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域如图所示．(2)由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.所以原点(0，0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x＋2y－2≥0，x－y＋4≥0，5x－2y＋2≤0.【方法归纳】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：(1)直线定界，特殊点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点；若直线过原点，则特殊点常选取(1，0)或(0，1)来验证．7(2)同号上，异号下．即当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋